Hiperbola

Definiciones

i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman:Ejes de simetría de la hipérbola.

iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola.

fig. 6.3.1.

Observaciones:

i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.).

ii. Si se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que si se obtiene la otra rama.

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma .

6.3.1. Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola

caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:

(1).

Demostración:

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que:

ó

De donde,

ó

Es decir,

Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando además que (observación iii.) y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente, que corresponde a la ecuación pedida.

Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0,

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