Hiperbola

LA HIPERBOLA

Una forma de generar la cónica es tomar 2 puntos del espacio que serán estáticos y los llamamos Focos y luego tomar un punto aleatorio del espacio como “Q”;si se cumple con la condición:

“La distancia de este punto a un Foco menos la distancia de este mismo punto al otro Foco en valor absoluto es considerado como una constante”; cualquier otro punto que cumpla con esta condición y sea igual a la constante, es un punto de la Hipérbola.

Por la definición, como el lugar geométrico generado por su excentricidad en cuanto la distancia de un punto a un foco entre la distancia de este punto a la recta directriz es una constante de valor mayor a 1.

Rectas directrices (L)

Los puntos encontrados por cualquiera de las formas se presentan como dos curvas que no guardan relación entre sus puntos, pero existe una característica que permite apreciar una relación entre estos puntos.

Al trazar una circunferencia con centro en el punto medio del segmento que une los focos (eje Focal) y que pasa por estos focos, luego se inscribe un cuadrado en la circunferencia.

La intercepción de los lados del cuadrado con el segmento que une los focos son puntos conocidos como los Vértices de la Hipérbola, luego al trazar las diagonales del cuadrado estos pasan por el centro de la Hipérbola, finalmente todos los puntos que se van formando tienen una característica, caen dentro de la concavidad entre las rectas.

Las diagonales del cuadrado se llaman asíntotas de la Hipérbola y marcan los límites de la abertura de la concavidad.

La Hipérbola así formada cumple con las características de la excentricidad

La Hipérbola formada tiene puntos característicos que no necesitan buscar la circunferencia ni el cuadrado para poder graficarlo

La Ecuación le ayudará mostrando el centro (h,k), las distancias “a” y “b”; así como hacia adonde se encuentra el eje focal que indicará la abertura de la Hipérbola.

Luego Ud. Calculará la distancia “c” y las ecuaciones de las asíntotas que le indicarán cual es la abertura de la concavidad.

RECONOCER UNA HIPÉRBOLA

Nuevamente debe saber que cuando en la ecuación se encuentran las 2 variables al cuadrado es posible que sea una circunferencia, pero sí; son de diferente signo, ya no puede ser una circunferencia, este es el indicador que se trata de una Hipérbola.

Ejemplo: reconozca que cónica representa la ecuación:

a.- 〖2x〗^2+〖3y〗^2-4x+5y-4=0 b.- x^2-〖3y〗^2-4x+6y-4=0

c.- x^2+y^2-4x+5y-4=0 d.- 〖-7x〗^2 〖-7y〗^2-4x+5y-4=0

e.- x^2+4x+5y+9=0 f.- 4x+7y+8=0

Solución:

1.- Observe siempre en toda ecuación ¿quien tiene las variables al cuadrado?

En este caso “a”, “b”, “c” , “d” y “e” ; por lo tanto “f” es una recta.

2.- De las que quedan ¿quien tiene solo una variable al cuadrado?

Solamente “e”, por lo tanto es una Parábola.

3.- Se supone que están quedando todas las que tienen las 2 variables al cuadrado; de estas ¿quien tiene las 2 variables del mismo signo?

Solamente “a”, “c” y “d” luego de estas ¿Quién tiene los mismos coeficientes?

Solamente “c” y “d”; estas podrían ser Circunferencias.

La única que quedo de todas fue “a”, por lo cual esta podría ser una Elipse.

4.- Finalmente en el punto (3) cuando eligió solamente quienes tenían el mismo signo, quedo “b” como la única que tiene los signos diferentes, esta es una Hipérbola.

¡Trabajemos la hipérbola¡ x^2-〖3y〗^2-4x+6y-2=0

Agrupando:

x^2-〖4x-3y〗^2+6y-2=0

{〖x-2}〗^2-〖4-3{y〗^2-2y}-2=0

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