Historia Y Evolución De Las Matemáticas

INDICE

• Historia y Evolución de la Matemática. (Pág. 3)

• Euclides: Biografía, pensamiento y obras. Ejercicios de Teoremas de Pitágoras y Algoritmo de Euclides para el calculo del M.C.D. (máximo común divisor). (Pág. 6)

• Eratosthenes de Cirene: Biografía, pensamientos y obras, Criba Eratosthenes. (Pág. 10)

• Arquímedes de Siracusa: Biografía, pensamientos y obras. Relación entre la circunferencia y su diámetro. (Pág. 15)

• Anexos. (Pág. 22)

• Bibliografía. (Pág. 25)

HISTORIA DEL DESARROLLO Y EVOLUCIÓN DE LA LLAMADA "MATEMÁTICA MODERNA".

Primera parte: los progresos que el hombre realizó en la elaboración de la matemática desde la aparición de las primeras tablillas con escritura cuneiforme de los sumerios que datan aproximadamente del año 3000 A.C. hasta llegar a la construcción de la rigurosa ciencia del Siglo XIX.

Segunda parte: introducción del desarrollo axiomático propio del Siglo XX cuando se declaró la importancia de enseñar la llamada "Matemática Moderna" en las aulas de los jóvenes.

Tercera parte: la controversia que se generó entre la "Matemática Tradicional" y la "Matemática Moderna" y el cuestionamiento internacional que generó la pregunta: ¿cómo debe enseñarse la matemática a los jóvenes?.

La Geometría de Tales de Mileto (624 A.C. - 547 A.C.) formuló una concepción atómica del espacio basada en relaciones, en proporciones, en desplazamientos y en semejanzas.

Hipócrates (460 A.C. - 350 A.C.) descubrió que las áreas de figuras geométricas en forma de medialuna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo.

A propósito de las diagonales del cuadrado surgió el escándalo de los irracionales. Si el cuadrado tiene un lado uno, entonces su diagonal tiene una longitud x tal que x2=2, y este número no existía en la aritmética griega .

La geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes está contenida en los "Elementos" de Euclides (365 AC. - 300 A.C.)

Omar Khayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de sexto grado.

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (1170 - 1241) escribió el libro “Liber Abacci”, en donde presentó la idea de que la aritmética y la geometría están conectadas y una se apoya en la otra.

Fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado publicada en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna“.

Galileo Galilei (1564 - 1642) fue un importante físico y astrónomo italiano que junto con el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630) comenzaron la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton.

El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton del cálculo diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Isaac Newton (1642 - 1727) se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval.

Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Augustín Lowis Cauchy (1789 - 1857) fue el primero en imponer el rigor en la teoría de las funciones numéricas, para las que inventó la noción de límite que la ciencia moderna conserva y que quita todo misterio al infinito en los casos considerados.

El matemático alemán Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916) encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor (1845 - 1918) y Karl T. W. Weierstrass (1815-1897) también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), escribió su “disertación doctoral” a la edad de 20 años. En ella dio la primera demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra, también dio una explicación adecuada de número complejo.

A fines del siglo XIX y en el siglo XX se forjaron poco a poco los instrumentos indispensables de la "Matemática Moderna" gracias a la teoría de conjuntos (Cantor) y al método axiomático (Hilbert).

George Cantor (1845 -1918)

David Hilbert (1862 – 1943)

Se incorporó en el siglo XX el "razonamiento por inducción completa" que considera la prolongación de una sucesión infinita. Este razonamiento se utiliza cuando los conjuntos infinitos están bien ordenados. Ernst Zermelo (1871 - 1953) proclamó que en todo conjunto existe el buen orden, aún cuando éste no se pueda describir.

El grupo Bourbaki propone después de la guerra de 1914 – 18 tomar las Matemáticas en su punto de partida: la lógica formal y la teoría de conjuntos y obtener a partir de allí la estructura axiomática y sistemática.

La llamada Nueva Matemática es en principio la misma matemática de siempre con importantes adquisiciones nuevas: el lenguaje en que está escrita, el método con el que trabaja y las estructuras abstractas entre las cuales se mueve.

La polémica desatada desde 1959 giró en torno de dos deformaciones pedagógicas: el practicismo y el teoricismo. Los "practicistas" desdeñaban toda elaboración teórica elevada y toda enseñanza sistemática basada en un ordenamiento subyacente bien meditado.

Los "teoricistas" se manifestaron reclamando el recitado de las propiedades formales de las operaciones, el estudio de los puntos notables del triángulo, los detalles de la construcción de la trigonometría y de la geometría del espacio.

EUCLIDES

Euclides (en griego) fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del año 300 antes de Cristo (325 a. C.) - (265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría"

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría, Egipto. Existen algunos otros datos poco fiables. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.

2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.

PENSAMIENTOS Y OBRAS

Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso,

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