Historia del gas y petroleo.
carlosecmApuntes6 de Septiembre de 2016
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Sistema de referencia
• Vector de dos puntos • Punto medio de dos puntos
2. Ecuaciones de la recta
2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta
3. Ecuaci´on del plano
3.1. Tipos de Ecuaciones del plano
4. Posici´on relativa de dos planos
4.1. Haz de planos
5. Posici´on relativa de recta y plano
6. Posici´on relativa de tres planos
7. Posici´on relativa de dos rectas
• Rectas paralelas • Rectas coincidentes • Rectas que se cortan o
se cruzan
Soluciones a los Ejercicios
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Secci´on 1: Sistema de referencia 3
1. Sistema de referencia
Un sistema de referencia en el espacio
consta de un punto O llamado
origen y tres vectores {~i,~j,~k}.
Cualquier punto P(x0, y0, z0) tiene
un vector de posici´on −−→OP.
−−→OP = x0
~i + y0
~j + z0
~k
y
x
z
O
~j
~k
~i
P
y0
x0
z0
• Vector de dos puntos
Dados los puntos A(x0, y0, z0) y
B(x1, y1, z1) se tiene
−→OA +
−−→AB =
−−→OB
luego
−−→AB =
−−→OB −
−→OA
y
x
z
O
~j
~k
~i
A
B
−→
AB
−→AB = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0)
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Secci´on 1: Sistema de referencia 4
• Punto medio de dos puntos
Dados los puntos A(x0, y0, z0) y
B(x1, y1, z1) se tiene que el punto
medio del segmento AB verifica
−−→AB = 2
−−→AM
luego
(B−A) = 2 (M−A) =⇒ M =
A + B
2
O
A
B
M
M =
x0 + x1
2
,
y0 + y1
2
,
z0 + z1
2
Ejemplo 1.1. Hallar el vector −−→AB y el punto medio de los puntos A(−1, 3, 4)
y B(3, 1, 2).
Soluci´on: −−→AB = B − A = (3, 1, 2) − (−1, 3, 4) = (4, −2, 2)
M =
−1 + 3
2
,
3 + 1
2
,
4 + 2
2
= (1, 2, 3)
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Secci´on 2: Ecuaciones de la recta 5
2. Ecuaciones de la recta
Definici´on 2.1 La ecuaci´on de una recta viene determinada por un punto
A(x0, y0, z0) y un vector ~u.
r ≡< A; ~u >
En el dibujo se observa que un punto X pertenece a la recta r, si el vector
−−→AX es proporcional al vector ~u, es decir −−→AX = λ ~u para alg´un λ ∈ R.
Siendo −−→OX =
−→OA +
−−→AX
−−→AX =
−−→OX −
−→OA
−−→OX −
−→OA = λ ~u
(X − O) − (A − O) = λ ~u
despejando X se obtiene la ecuaci´on
r ≡ X = A + λ ~u (1)
A
X
u
O
r
en coordenadas se obtiene
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (u1, u2, u3)
Dependiendo de como escribamos la expresi´on anterior obtenemos diferentes
ecuaciones de la recta.
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Secci´on 2: Ecuaciones de la recta 6
2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta
Ecuaci´on Vectorial. Expresando la ecuaci´on 1 en coordenadas
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (u1, u2, u3)
Ecuaciones Param´etricas. Separando las componentes
x = x0 + λ u1
y = y0 + λ u2
z = z0 + λ u3
Ecuaciones Continua. Despejando en la expresi´on anterior el par´ametro
λ e igualando
x − x0
u1
=
y − y0
u2
=
z − z0
u3
Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, es decir, agrupando
t´erminos y ordenando se obtiene las expresiones:
Ax + By + Cz + D = 0
A
0x + B
0
y + C
0
z + D0 = 0
Ejemplo 2.1. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos
A(1, 2, 1) y B(0, 3, 2).
Soluci´on: El vector director ~u = AB~ = (−1, 1, 1)
Ecuaci´on Vectorial. (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (−1, 1, 1)
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Secci´on 2: Ecuaciones de la recta 7
Ecuaciones Param´etricas.
x = 1 − λ
y = 2 + λ
z = 1 + λ
Ecuaci´on Continua.
x − 1
−1
=
y − 2
1
=
z − 1
1
Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, agrupando t´erminos
y ordenando se obtiene las expresiones:
x − 1
−1
=
y − 2
1
y − 2
1
=
z − 1
1
⇒ r ≡
x + y − 3 = 0
y − z − 1 = 0
Ejemplo 2.2. Determinar de la recta r ≡
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 2
1
, su direcci´on
y dos puntos de la misma.
Soluci´on: La direcci´on viene dada por ~u = (2, 3, 1). Un punto es A(1, −1, 2).
Para hallar otro punto usamos la expresi´on vectorial
r ≡ X = A + λ ~u
Haciendo λ = 2 obtenemos
X1 = (1, −1, 2) + 2 (2, 3, 1) = (5, 5, 4)
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Secci´on 2: Ecuaciones de la recta 8
Haciendo λ = 3 obtenemos
X2 = (1, −1, 2) + 3 (2, 3, 1) = (7, 8, 5)
y as´ı sucesivamente para obtener m´as puntos.
Ejemplo 2.3. Dada la recta:
x = 1 − 3λ
y = 2 + λ
z = 1 + 2λ
Determinar su vector direccional y dos puntos de la misma.
Soluci´on:
Su vector direccional es ~u = (−3, 1, 2). Un punto es A(1, 2, 1). Para hallar otro
punto damos valores al par´ametro λ, por ejemplo, haciendo λ = 1 obtenemos
x = 1 − 3(1) = −2
y = 2 + (1) = 3
z = 1 + 2(1) = 3
Ejercicio 1. Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) est´an
alineados.
Ejercicio 2. Dados los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2), determinar
el valor de m para que est´en alineados, y hallar la recta que los contiene.
Ejercicio 3. Dada la recta r
x + y − 3 = 0
y − z − 1 = 0 , escribirla en forma continua.
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Secci´on 3: Ecuaci´on del plano 9
3. Ecuaci´on del plano
Definici´on 3.1 La ecuaci´on de un plano viene determinada por un punto
A(x0, y0, z0) y dos vectores ~u, ~v linealmente independientes.
π ≡< A; ~u, ~v >
Un punto X pertenece al plano π, observar el dibujo, si el vector −−→AX es
combinaci´on lineal de ~u y ~v, es decir
−−→AX = λ ~u + µ ~v
para alg´un λ, µ ∈ R
−−→AX =
−−→OX −
−→OA
Identificando −−→OX = X y
−→OA = A se obtiene la
ecuaci´on
A
X
u
v
O
π ≡ X = A + λ ~u + µ ~v (2)
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Secci´on 3: Ecuaci´on del plano 10
3.1. Tipos de Ecuaciones del plano
Ecuaci´on Vectorial.Expresando la ecuaci´on 2 en coordenadas
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (u1, u2, u3) + µ (v1, v2, v3)
Ecuaciones Param´etricas. Separando las componentes
x = x0 + λ u1 + µ v1
y = y0 + λ u2 + µ v2
z = z0
...