Identidades Trigonometricas

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

6. Ecuaciones trigonométricas

Son aquellas en las que aparece alguna razón trigonométrica de la incognita. Para resolverlas es conveniente :

1 Ecuaciones trigonométricas

Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos especí.-

cos. A veces tendremos que:

a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos.

Veamos algunos ejemplos:

b) Intentar que en la ecuación trigonométrica , tan solo aparezca una sola

razón trigonométrica del mismo ángulo

c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos

este procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que

no lo sea).

d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad etc,etc,etc...

1º Expresar todas las razones que aparezcan en función de un mismo ángulo.

2º Expresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica.

Estos dos pasos se consiguen utilizando las fórmulas trigonométricas estudiadas anteriormente.

Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

1ª sen(x)=1

2ª sen(2x)=2sen(x)

3ª cos2(x)-3sen(x)=3

Soluciones:

-La primera es muy sencilla, no hay que dar los pasos indicados, sólo recordar la circunferencia goniométrica y observar que 90º es el primer ángulo cuyo seno es 1. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer uno y así sucesivamente. Luego hay muchas soluciones, todos los ángulos x de la forma x=90º+k.360º, donde k es cualquier número entero. Si queremos expresar la solución en radianes x=/2+2.k. radianes.

-La segunda necesita que apliquemos el primer paso. Como sen(2x)=2sen(x).cos(x), podemos escribir la ecuación en la forma 2sen(x).cos(x)=2sen(x). Ahora si dividimos por 2 nos queda sen(x).cos(x)=sen(x).Y si además dividimos por sen(x) queda cos(x)=1. Cuidado porque esta división supone que sen(x) es distinto de 0.

Las soluciones de cos(x)=1 son x=0º+k.360º o bien x=2.k. radianes. Obtenidas razonando sobre la circunferencia goniométrica, como anteriormente.

Cuando sen(x)=0 no podemos dividir, esto ocurre para x=0º, 180º, 360º,...

es decir x=k.180º. Pero estos valores son soluciones de la ecuación puesto que cuando sen(x)=0 también sen(x).cos(x)=sen(x), ya que queda 0=0.

Ahora bien las soluciones de sen(x)=0 incluyen a las de cos(x)=1, por tanto las soluciones de la ecuación pedida son x=k.180º o bien x=k. radianes.

- La tercera se convertirá en una ecuación con una sóla razón trigonométrica si tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría.

Pasaremos de cos2(x)-3sen(x)=3 a la ecuación 1-sen2(x)-3sen(x)=3, ordenando y agrupando queda sen2(x)+3sen(x)+2=0. Ya está en función de una sóla razón y de un sólo ángulo.

Cambimos ahora sen(x) por z y nos quedará z2+3z+2=0. esta ecuación tiene las soluciones z=-1 y z=-2, que nos proporcionan sen(x)=-1 y sen(x)=-2.

sen(x)=-1 tiene como soluciones x=270º+k.360º o bien x=3/2+2.k. radianes.

sen(x)=-2 no tiene solución alguna. Recurrimos continuamente a la circunferencia goniométrica.

Luego las soluciones de la tercera ecuación son: x=270º+k.360º o bien x=3/2+2.k. radianes.

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El nippe Descartes nos permite utilizar un metodo distinto para obtener las soluciones:

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