Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

Objetivos

Haciendo uso de las identidades trigonométricas cada estudiante simplificará expresiones trigonométricas con un mínimo de error.

Haciendo uso de las identidades trigonométricas básicas cada estudiante verificará identidades trigonométricas con un mínimo de error.

Introducción

En esta lección revisaremos las propiedades de las funciones trigonométricas que estudiamos anteriormente, desde el punto de vista algebraico. Utilizaremos estas propiedades para simplificar expresiones y para verificar identidades, ambas trigonométricas.

Las identidades trigonométricas nos ayudan a simplificar expresiones complejas y de esta forma a comprender mejor el significado de la expresión.

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Una Identidad Trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de la variable.

En la lección El Círculo Unitario y las Funciones Seno y Coseno estudiamos algunas identidades fundamentales, las cuales las podemos resumir en la siguiente tabla:

1 cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1

2 cos -α = cos α

3 sen -α = - sen α

4 sen 180 - α = sen α

5 cos 180 - α = - cos α

6 cos 180 + α = - cos α

7 sen 180 + α = - sen α

Simplificación de Expresiones Trigonométricas

Ejemplo 1:

Simplificar: sen x cos2 x - sen x

Solución:

sen x cos2 x - sen x

Factorizando sen(x) sen x ( cos 2 x - 1 )

Usando la identidad

cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 sen x ( cos 2 x - ( cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) ) )

sen x ( cos 2 x - cos 2 ( x ) - sen 2 ( x ) )

Simplificando sen x ( - sen 2 ( x ) )

- sen 3 ( x )

Ejemplo 2:

Simplificar:

sen x + cot x cos x

Solución:

sen x + cot x cos x

Reescribiendo cot(x) = cos(x)/sen(x)

sen x + cos x sen x cos x

sen2 x + cos2 x sen x

Usando la identidad cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1

1 sen x

Ejemplo 3:

Simplificar:

sen x csc x + cos x sec x

Solución:

sen x csc x + cos x sec x

Reescribiendo sec(x) y csc(x) en términos de seno y coseno

sen x 1 sen x + cos x 1 cos x

sen 2 x + cos 2 x

Usando la identidad cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1

1

Ejemplo 4:

Simplificar:

2 + tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) - 1

Solución:

2 + tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) - 1

Reescribiendo tan(x) y sec(x) en términos de seno y coseno

2 + sen2 x cos2 x 1 cos2 x - 1

2 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x 1 cos 2 x - 1

2 cos 2 x + sen 2 x - 1

cos 2 x + cos 2 x + sen 2 x - 1

cos 2 x + cos 2 x + sen 2 x - 1

Usando la identidad cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1

cos 2 x + 1 - 1

Simplificando

cos 2 x

Verificación de Identidades Trigonométricas

Verificar una identidad trigonométrica consiste en demostrar que efectivamente ambos lados de la igualdad son equivalentes. Usaremos operaciones algebraicas e identidades trigonométricas conocidas para convertir uno de los lados de la ecuación exactamente en la forma en que está expresado el otro lado de la ecuación.

Ejemplo 1:

Verificar:

sec 2 ( x ) -1 sec 2 ( x ) = sen 2 ( x )

Solución:

Partiendo del lado izquierdo de la ecuación

sec 2 ( x ) -1 sec 2 ( x )

Reescribiendo

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