Ingenieria Computacional

TALLER 6

Resuelva la ecuación usando un método Monte Carlo simple. Use un tamaño de muestre de 10000 puntos.

I=∫_0^1▒〖dxf(x)=∫_0^1▒〖dx 1/(1+x^2 )〗〗

grafique f(x_i ) en función de i de i=1 a i=10000, donde x_i esta distribuida uniformemente sobre [0,1]. (no grafique cada uno de los 10000 puntos, solo cada 10 puntos, asegúrese de que la escala de la gráfica sea de tal forma que se aprecie las fluctuaciones). Grafique la línea π/4 .

FIGURA 1. Comportamiento de la función evaluada f(x_i ) ( ) con respecto al número de iteraciones (n), ( ) línea constante de tendencia π/4

En la Fig. 1 Observamos el comportamiento de la función f(x_i )=1/(1+x_1^2 ) con respecto al número de iteraciones (i) y valores de x_i aleatorios según el método de integración Montecarlo, con la adición de la línea de tendencia π/4 que es el valor aproximado de la integral.

Grafique también el promedio I_n=(1⁄n) ∑_(i=1)^n▒f(x_i ) en función de n.

FIGURA 2. Comportamiento del valor promedio ( ) ( I_n) con respecto al número de iteraciones (n), acompañado del valor f(x_i ) ( )

De la Fig. 2 se deduce que el valor de la integral, tiende al valor del promedio I_n, que utiliza a π/4 como línea de referencia para aproximar los valores reales de la función.

Resuelva la siguiente ecuación.

I=∫_20^100▒〖dxf(x)=∫_20^100▒〖dx 1/(1+x^2 )〗〗

El resultado de la anterior ecuación se obtuvo por medio de los siguientes métodos: integración Montecarlo, sumas de Riemann, Método del trapecio y los resultados son los siguientes con su respectiva comparación porcentual con el valor real.

Valor real I_r=3,9958729x10-2 Método Montecarlo I=3.973087231604x10-2 Sumas de Riemman I_1=3.994915524868x10-2 Método del trapecio I_2=3.995873073128x10-2

Método Montecarlo:

%Error=|((3.973087231604x10-2)-(3,9958729x10-2))/(3,9958729x10-2)|*100=0,570230159 %

Sumas de Riemann:

%Error=|((3.994915524868x10-2)-(3,9958729x10-2))/(3,9958729x10-2)|*100=0,023959199%

Método del trapecio:

%Error=|((3.995873073128x10-2)-(3,9958729x10-2))/(3,9958729x10-2)|*100=4,23257x10-6%

Según la comparación porcentual de los resultados de la ecuación con respecto al valor real de esta misma, deducimos que hallar valores de integrales por el método del trapecio es más exacto que hallar dicho valor por los métodos: Montecarlo y Sumas de Riemann.

CÓDIGO

En el código de Fortran adjunto calcule la energía en función de el tamaño del material y el calor especifico. Ponga el tamaño del material “ls” igual a 16, 32, 64 y grafique las tres energías resultantes y en otra gráfica el calor específico de los tres materiales. (usted

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