Integrales

Aplicaciones económicas de la integral indefinidaCosto

. El costo total C de producir y comercializar x unidades de un satisfactor está dado por lafunción C = f(x). El costo promedio por unidad será C

p

=

x x f xC

)(

=

, y el costo marginal está dado por C

M

=)('

x f dxdC

=

. Entonces el costo total será:C =

∫

+=

,)()('

k x f dx x f

donde k es una constante.

Ingreso

. Dada una cierta función de demanda p = f(q), en donde p es el precio y q el número deunidades a vender. Si el ingreso total es I = pq = qf(q), el ingreso marginal será)('

q I dqdI

=

y el ingresototal estará dado por

∫

+==

k q I dqq I I

)()(' , donde k es una constante. El ingreso promedio será

pq pqq I

==

.

Ingreso nacional, consumo nacional y ahorro

. Sea la función consumo C = f(Y) en donde C esel consumo, Y el ingreso nacional total. La propensión marginal al consumo está dada por )('

Y f dY dC

=

.

Sea la ecuación Y = C + S en donde S es el ahorro. La propensión marginal al ahorro será

dY dS

, y conella se tiene que

dY dC dY dS

−=

1. Entonces, el consumo nacional estará dado por

k C dy y f C

+==

∫

)(' en donde k es una constante. Si el dato es la propensión marginal al ahorro, el consumo se halladespejando

dY dC

de la ecuación respectiva.

Formación de capital

. Es el proceso de incrementar la cantidad acumulada de los bienes decapital. Si el proceso es continuo en el tiempo, la función de capital se puede expresar en términos deltiempo. Así, K(t) será el capital y la tasa de formación de capital estará dada por )(')(

t K dt t dK

=

. K’(t)se denomina flujo de la inversión neta con respecto al tiempo, que se representa por I(t), esto es, K’(t) =I(t). Entonces se tendrá lo siguiente:

∫ ∫

==

dt t I dt t K t K

)()(')( . La acumulación de bienes de capital es la integral con respecto al tiempode)(')(

t K dt t dK

=

y también la integral del flujo de la inversión neta

∫

+=

,)()(

ct K dt t I

en donde c esuna constante.

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas:1.Si el ingreso marginal es igual a cero y el ingreso, evaluado en el punto cero, es distinto de cero,¿Cuál es la naturaleza de la curva o gráfica de la demanda?

2.La propensión marginal al consumo, en millones de unidades monetarias, u.m., es

21

42,03,0

xdxdc

+=

. Cuando el ingreso es cero, el consumo vale 100 millones de u.m. Halle lafunción consumo.3.El costo marginal para la producción es C’ = 40 + 36x – 2x

2

. Si el costo total de producir unaunidad es 50, determine el costo total y el costo promedio.4.La propensión marginal al ahorro es32. Cuando el ingreso es cero, el consumo vales dos milmillones de u.m. Halle la función consumo.5.Si el ingreso marginal I’ = 10 + 24x – 9x

2

, halle las funciones de ingreso y demanda.6.Si el flujo de inversión está dado por I(t) = 20t

3/7

y la acumulación inicial de bienes de capital a t= 0 es 25, determine la función que representa el capital K

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