Interes Compuesto
junior_88810 de Julio de 2012
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INTERÉS COMPUESTO
PRINCIPALES CONCEPTOS
El interés compuesto, es un mecanismo mediante el cual las ganancias se van sumando al capital, general- mente cada año, para formar parte del mismo, produ- ciendo nuevos intereses.
Simbología:
Monto = M = C + I = Capital + Intereses
Capital = C = Capital Impuesto
Tanto por Ciento = R (Interés producido por 100 soles en un año).
R
Tanto por uno = r = –––– (Interés producido por
un sol en un año). 100
Tiempo = t = (tiempo al que se impone el capital generalmente en años).
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
Dado un capital “C” que se impone a interés com- puesto al “r” por uno anual, durante un tiempo de “t” años. Calcular el monto que se obtiene al final de ese tiempo.
Por lo tanto el monto después de t años es: M = C(1 + r)t
Capital Interés Monto
1er. año C Cr C + Cr = C(1+ r)
2do. año C(1 + r) Cr(1 + r) C(1 + r) + C(1 + r)r = C(1 + r)2
3er. año C(1 + r)2 Cr(1 + r)2 C(1 + r)2 + C(1 + r)2r = C(1 + r)3
… … … …
“t” años –– –– = C(1 + r)t
OBSERVACION IMPORTANTE.- En la fómula M = C(1 + r)t, el exponente t y el tanto por uno “r” siempre van expresados en la misma unidad, según sea el período, al fin del cual se capitalizan los intereses de acuerdo con esto:
exponente (tiempo) tanto por uno
capitalización anual t (en años) r (anual)
capitalización semenstral 2t r/2
capitalización trimestral 4t r/4
capitalización bimestral 6t r/6
capitalización mensual 12t r/12
capitalización diaria 360t r/360
CASO EN QUE EL TIEMPO ES MULTIPLO DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
En este caso: t = n + f donde:
n = # entero de años
f = fracción de año en este caso se utiliza la fórmula:
M = C(1 + r)n(1 + fr)
INTERÉS
Para determinar el interés se observa que: M = C + I
I = M - C = C(1 + r)t - C
∴ I = C [(1 + r)t -1]
ANUALIDADES
DEFINICIÓN.- Se denomina anualidad a la cantidad fija que se entrega o impone todos los años para for- mar un capital (anualidad de capitalización) o para amortizar una deuda (anualidad de amortización).
ANUALIDAD DE CAPITALIZACIÓN (Ac)
Es la cantidad fija que se impone al principio de cada año al “r” por uno de interés compuesto para formar un capital “C”, en un tiempo “t”.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
La 1ra. anualidad en t años se convierte en: Ac(1 + r)t
La 2da. anualidad en (t - 1) años se convierte en: Ac(1 + r)t-1
La 3ra. anualidad en (t - 2) años se convierte en: Ac(1 + r)t-2
y así sucesivamente.
La última anualidad en un año se convierte en
Ac(1 + r)
La suma producidos por las anualidades, debe ser igual al capital por “c” por formar entonces:
C = Ac(1 + r)t + Ac(1 + r)t-1 + Ac(1 + r)t-2
+ … + Ac(1 + r) Sacando factor común Ac(1 + r):
C = Ac(1 + r)[(1 + r)t-1 + (1 + r)t-2 +
+ (1 + r)t-3 +… + 1]
transformando a cociente notables: (1 + r)t - 1
C = A (1 + r) –––––––––––
1 + r - 1
de donde:
Ac(1 + r) [(1 + r)t - 1] C = –––––––––––––––––––
r
de donde:
Cr (1 + r)t
Aa = ––––––––––
(1 + r)t - 1
Ac =
Cr
–––––––––––––––––
(1 + r)[(1 + r)t - 1]
EJERCICIOS RESUELTOS
1.-¿Qué monto formará en 4 años, un capital de 1 000
ANUALIDAD DE AMORTIZACIÓN (Aa)
Es la cantidad fija que se impone al final de cada año al “r” por uno de interés compuesto para amortizar una deuda “C” y los intereses que produce, a interés compuesto, en un tiempo “t”.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA.- La 1ra. anualidad impuesta durante “t - 1” años, se convierte en:
Aa(1 + r)t -1
La 2da. anualidad impuesta durante “t - 2” años se convierte en:
dólares, imponiéndose al final de cada año a interés compuesto del 10%?
Solución:
Datos: C = 1 000 t = 4
r = –1–0–– = 0,1
100
De la fórmula:
M = C(1 + r)t
Aa(1 + r)t-2
La 3ra. anualidad en “t - 3” años se convierte en:
Aa(1 + r)t-3
M = 1 000(1 + 0,1)4
M = 1 464,1 dólares
+ 1 000(1 . 1)4
= 1 000(1,4641)
y asi sucesivamente.
La última anualidad Aa, se deposita al final del año t.
La suma de los montos producidos por las anu- alidades, debe ser igual al capital prestado más sus intereses, es decir:
C(1 + r)t = Aa(1 + r)t-1 + Aa(1 + r)t-2 +
+ Aa(1 + r)t-3 + … + Aa
Extrayendo factor común Aa:
C(1 + r)t = Aa[(1 + r)t-1 + (1 + r)t-2 +
+ (1 + r)t-3 + … + 1]
también:
(1 + r)t -1
C(1 + r)t = A –––––––––
1 + r - 1
2.- ¿Cuántos años estuvo impuesto a interés com-
puesto al 5%, un capital de S/. 3 200 000 que se convirtió en S/. 4 084 101 ?
Solución:
Datos: M = 4 084 101
C = 3 200 000
r = ––R–– = ––5–– = –1––
100 100 10
t = ? Por la fórmula:
M = (1 + r)t
sustituyendo datos :
1 t
20
C(1 + r)t =
A [(1 + r)t - 1]
4’084,101 21 t
––––––––––––––
r
–––––––––– =
3’200,000
–––
20
pero: 4’084,101 = 35 . 75
3’200,000 = 25 . 105
luego:
Solución:
Datos: C = 10 000
M = 2 401 r = 0,3
21 t
–––
35 . 75
= ––––––– =
3 . 7 5
–––––
t = ?
20 25 . 105 2 . 10
t 5
En este caso, el tanto por uno actúa negativa-
21
–––
21
= –––
mente, porque la máquina se desvaloriza:
20 20
igualando los exponentes:
t = 5 años
3.- ¿En cuántos años, lo más aproximadamente posi- ble, al 15% de interés compuesto se duplica un capital?
M = C(1 + r)t
2 401 = 10 000 [1 + (-0,3)]t
2 401
––––––– = (0,7)t
10 000
74 7 4
Datos: log 2 = 0,301030
––– =
104
–––
10
log 1,15 = 0,06070
Solución: Datos: C = x
M = 2x t = ?
r = 0,15
Por fórmula:
M = C(1 + r)t
sustituyendo datos:
2x = x(1 + 0,15)t
2 = (1,15)t
tomando logaritmos:
log 2 = t log 1,15 log 2 0,301030
t = ––––––– = ––––––––– = 5
log 1,15 0,060070
Rpta.: En 5 años
4.- Una máquina al comienzo de un año fue valoriza- da en S/. 10 000 y se sabe que al final de cada año pierde 30% de su valor por desperfectos.
¿Dentro de cuántos años el valor de la máquina será de S/. 2 401?
74 7 t
––– = –––
104 10
t = 4
Rpta.: Dentro de 4 años.
5.- ¿Cuánto tiempo tiene que estar impuesto un ca- pital “C” al r% de interés compuesto, para que el monto final sea de “M” dolares?
Datos: log C = 3q - 2p log M = p + 6q
log(1 + 0,01r) = 1,5(p + q) Solución:
Por fórmula:
M = C(1 + r)t tomando logaritmos:
log M = log C + t log(1 + r)
log M - log C = t . log(1 + r)
log M - log C log M - log C
t = ––––––––––––––– = ––––––––––––––
log 1 + ––r–– log (1 + 0,01r)
100
sustituyendo
...