Intervalos De Confianza

Introducción a la inferencia estadística

La construcción de modelos probabilísticos presentada en el capítulo anterior es el caso típico de razonamiento deductivo: se establecen hipótesis respecto al mecanismo generador de los datos y con ellas se deducen las probabilidades de los valores posibles. La Inferencia Estadística realiza el proceso inverso: dadas las frecuencias observadas de una variable, inferir el modelo probabilístico que ha generado los datos. Para ello debemos calcular los parámetros que definen las distintas distribuciones, pero esto requiere conocer los valores de la variable que estemos estudiando para todos y cada uno de los elementos de la población (conjunto de homogéneo de elementos en los que se estudia una variable dada), lo cual no es posible por varias razones:

Imposibilidad física de acceder a toda la población, por ejemplo para calcular la probabilidad de cara de una moneda requiere su lanzamiento infinitas veces.

Imposibilidad económica de acceder a toda la población, p. e. no se podrían pagar los análisis para determinar el nivel medio de colesterol en un país.

Imposibilidad por destrucción del individuo, p. e. el estudio de la duración media de un modelo de marcapasos implicaría esperar la destrucción de toda la producción.

Sea cual sea el caso, con poblaciones de un tamaño N suficientemente grande la única alternativa factible es su determinación aproximada a través de una muestra (subconjunto representativo de la población).

La Inferencia Estadística es el conjunto de métodos que permiten obtener una conclusión a cerca de una población a través de la información proporcionada por una muestra, un procedimiento inductivo que va de lo particular (muestra) a lo general (población). Cuando la información deseada de la población es el valor de alguno de sus parámetros, la técnica a utilizar es la estimación.

La estimación puede ser de dos tipos. Mediante estimación puntual se persigue dar un único valor aproximado del parámetro desconocido, quedando sin especificar cómo de buena es tal aproximación. Mediante la estimación por intervalo se persigue dar un intervalo de valores, alguno de los cuales es el verdadero valor del parámetro desconocido, con una cierta seguridad de que la afirmación sea cierta. En el primer caso se afirmaría " la proporción de varones en España es aproximadamente el 49%", en el segundo, "la proporción de varones en España es algún número entre el 48% y el 50% caso con seguridad". El valor 49% se dice que es una estimación puntual de p(la verdadera proporción de varones en España); el intervalo (48%-50%) se dice que es un intervalo de confianza para p.

Muestreo aleatorio

Ya que el conocimiento de la población lo va a proporcionar la muestra, es lógico que la misma no se deba tomar de un modo arbitrario, sino que debe representar adecuadamente a toda la población. Si la muestra no es representativa, nada de lo que se concluya a partir de ella será válido para la población de interés, sino que lo será para la subpoblación que representa. Así, para determinar el nivel medio de colesterol de todos los españoles, la muestra no puede tomarse sólo de personas de edad avanzada, ni sólo de individuos que aparezcan en la guía telefónica, ni sólo de individuos que acuden a un hospital, etc. Para que la muestra sea representativa de la población, es preciso que sea extraída de ella de modo que:

1º Todos los individuos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados e incluidos en la muestra (igual probabilidad)

2º La selección de un individuo no influya para nada en la selección o no de otro individuo cualquiera (independencia).

Cuando ello se verifica diremos que la muestra es una muestra aleatoria. La obtención de una muestra aleatoria requiere en primer lugar la identificación completa de la población en estudio; a continuación se numeran los individuos de la población y, por medios similares a un sorteo, se extrae al azar un conjunto de números, los individuos correspondientes a ellos forman una muestra aleatoria de tal población. Para hacer esta selección podemos utilizar también las tablas de números aleatorios.

Estimación puntual

Supongamos que se desea conocer la estatura media µ de todos los españoles. Si tomamos una muestra de n = 100 españoles ¿qué valor elegiremos como el más aproximado, presuntamente, a µ? Parece razonable que si 170 cm es la estatura media de dicha muestra, debemos afirmar que µ=170 es inexacto (pues la media muestral no coincide en general con µ ), convengamos en indicar lo anterior así: µ 1 = 170, indicando el subíndice en el parámetro que la cantidad es una estimación puntual del mismo. De un modo general, una estimación puntual es un valor que se propone para el parámetro desconocido, valor que se obtiene determinando en la muestra el parámetro muestral paralelo al poblacional. Así, una estimación puntual para la media µ de una v.a es la media muestral µ1=, para la varianza de una v.a. es la varianza muestral =s2 ó para la proporción de una Binomial p es la proporción muestral p1.

Estimación por intervalo de confianza

Los estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del valor del parámetro a estimar, no conociéndose cómo de buena es la aproximación; ellos simplemente proporcionan el mejor número que pueda proponerse como valor del parámetro. Por ejemplo decir que µ1=170 cm significa que la estatura media de todos los españoles es aproximadamente 170 cm, pero el término "aproximado" no se sabe si alude a 1 cm arriba o abajo, o a 1 metro arriba o abajo. De hecho no puede esperarse gran cosa de un estimador.

Los problemas anteriores eran de esperar pues realmente es demasiado pedir que a partir de una muestra pueda calcularse el valor del parámetro tan exactamente como si se tomara toda la población. En realidad lo que importa es que el valor de la media muestral ,por ejemplo, no esté demasiado alejado de µ, y esto se comprueba con los intervalos de confianza.

El objetivo es realizar afirmaciones del tipo: "la estatura media ( de los españoles no sé exactamente cuanto es, pero es casi seguro alguno de los valores , con una cierta seguridad. La seguridad alude a la probabilidad de que la afirmación sea cierta, con lo que el problema de obtener intervalos de confianza para un parámetro radica en encontrar dos

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