LA LÓGICA DEL SIGLO XX

LA LÓGICA DEL SIGLO XX

El siglo XX es uno de los siglos más favorables para la lógica en su desarrollo, ya que a partir del siglo XX la lógica pasó a estudiarse por su interés intrínseco, y no sólo por sus virtudes como propedéuticas, por lo que estudió a niveles mucho más abstractos.

En el siglo XX la lógica paso a ser principalmente la lógica simbólica. Un cálculo definido por sus símbolos y unas reglas de inferencias. Lo que ha permitido un campo de aplicación fundamental en la actualidad: la informática.

Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lógica, o de varias lógicas, pero en el siglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas lógicos diferentes, que capturan y formalizan distintas partes del lenguaje natural. Se podría definir a un sistema lógico como un conjunto de cosas, que nos ayudan en la toma de decisiones que sean lo más convenientemente posible. Un sistema lógico está compuesto por:

1. .Un conjunto de símbolos primitivos (el alfabeto, o vocabulario).

2. .Un conjunto de reglas de formación (la gramática) que nos dice cómo construir fórmulas bien formadas a partir de los símbolos primitivos.

3. .Un conjunto de axiomas o esquemas de axiomas. Cada axioma debe ser una fórmula bien formada.

4. .Un conjunto de reglas de inferencia. Estas reglas determinan qué fórmulas pueden inferirse de qué fórmulas. Por ejemplo, una regla de inferencia clásica es el modus ponens, según el cual, dada una fórmula A, y otra fórmula A ? B, la regla nos permite afirmar que B. Estos cuatro elementos completan la parte sintáctica de los sistemas lógicos. Sin embargo, todavía no se ha dado ningún significado a los símbolos discutidos, y de hecho, un sistema lógico puede definirse sin tener que hacerlo. Tal tarea corresponde al campo llamado semántica formal, que se ocupa de introducir un quinto elemento:

5. .Una interpretación formal. En los lenguajes naturales, una misma palabra puede significar diversas cosas dependiendo de la interpretación que se le dé. Por ejemplo, en el idioma español, la palabra "banco" puede significar un edificio o un asiento, mientras que en otros idiomas puede significar algo completamente distinto o nada en absoluto. En consecuencia, dependiendo de la interpretación, variará también el valor de verdad de la oración «el banco está cerca». Las interpretaciones formales asignan significados inequívocos a los símbolos, y valores de verdad a las fórmulas.

Lógicas clásicas Los sistemas lógicos clásicos son los más estudiados y utilizados de todos, y se caracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales que otras lógicas rechazan. Algunos de estos principios son: el principio del tercero excluido, el principio de no contradicción, el principio de explosión y la motricidad de la implicación. Entre los sistemas lógicos clásicos se encuentran:

¦Lógica proposicional ¦Lógica de primer orden ¦Lógica de segundo orden

LÓGICA MATEMATICA DEL SIGLO XX

En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica, evitando caer en las paradojas en las que cayó Frege. Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematica tuvo un éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más importantes e influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza una notación inspirada en la de Giuseppe Peano, parte de la cual todavía es muy utilizada hoy en día.

En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo después de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado de la expresión "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta. El nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el antecedente y el consecuente que el condicional clásico.

En 1920 David Hilbert propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas.

El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra en los años '30 (antes de que existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de los lógicos Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en abundantes aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la representación de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de producción.

La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.

En los años 40 Alfred Tarski comenzó a desarrollar junto a sus discípulos el álgebra relacional, en la que pueden expresarse tanto la teoría axiomática de conjuntos como la aritmética de Peano. También desarrolló junto a sus discípulos las álgebras cilíndricas, que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana a la lógica

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