La Distribución de Poisson

La Distribución de Poisson

Para entender la Distribución de Poisson, vamos analizar un ejemplo detenidamente. Supongamos que se tiene una tabla rectangular de madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un recubrimiento sobre cuya superficie se presentan aleatoriamente pequeños defectos. Estos defectos podrían ser por ejemplo partículas muy pequeñas de pigmento que no fueron bien molidas al fabricar la pintura. Se desea calcular la probabilidad de que aparezcan estos defectos:

Podríamos subdividir la superficie en zonas rectangulares mas pequeñas y de igual tamaño:

Ahora tenemos la superficie dividida en 4 zonas rectangulares de igual tamaño. Observamos que en algunas zonas aparece un defecto superficial y en otras no. Vamos a hacer las siguientes suposiciones:

1) En cada zona sólo puede aparecer 1 defecto.

2) Si la probabilidad de que aparezca un defecto en todo el área es p, la probabilidad de que aparezca un defecto en una zona es p/4.

Entonces, utilizando la Distribución Binomial podemos calcular la probabilidad de que en nuestra superficie aparezcan 0, 1, 2, 3, 4 defectos:

El promedio de defectos en la superficie total será:

Pero sabemos que en realidad en cada zona podrían aparecer más de 1 defecto. Esto hace inexacto nuestro cálculo.

Podríamos hacer el cálculo más exacto si subdividimos las zonas:

Dividimos cada zona en 4 y ahora tenemos 16 zonas. La probabilidad de tener 1 defecto en una zona es:

Podemos entonces calcular la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ...., 16 defectos en el área total:

Y el promedio de defectos en la superficie resulta ser el mismo que antes:

Aún así podrían aparecer más defectos por zona:

Si dividimos nuevamente cada zona en 4 tendríamos 64 zonas y ahora la probabilidad de tener 1 defecto en una zona sería:

La probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ....., 64 defectos en la superficie total sería:

Y nuevamente el promedio de defectos en la superficie resulta:

Lo que estamos haciendo es ir aumentando n al mismo tiempo que disminuye p en igual proporción. Por lo tanto el promedio de defectos en la superficie totaln.p se mantiene constante. Como vimos, al suponer que en cada subzona sólo puede haber 1 defecto o ningún defecto estamos cometiendo un error. Este error se hace cada vez menor, porque a medida que subdividimos el area total se hace menos probable que en una subzona aparezca mas de un defecto. Si continuamos subdividiendo

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