Laboratorio

1. ¿Que son los vectores propios o característicos?

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.1 El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado. Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio. La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado. El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propio.

2. ¿Cuáles son las características de los vectores propios?

Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.

• Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.

• El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

• Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

• La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.

• El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

3. ¿Con qué métodos se tratan?

• El método de Leverrier

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. El polinomio característico de la matriz es

p(λ)=λ n +p 1 λ n−1 +p 2 λ n−2 +...p n−1 λ+p n

Los coeficientes se hallan mediante las siguientes relaciones

p 1 =−s 1 p 2 =12 (s 2 +p 1 s 1 )..........................p n =−1n (s n +p 1 s n−1 +....+p n−1 s 1 ) ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1)

Los valores s1, s2,... sn son las trazas de las potencias de la matriz cuadrada A.

s 1 =traza As 2 =traza A 2 ....................s n =traza A n ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ traza A=∑ i=0 i<n a ii

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal.

La codificación en términos de la clase Matriz no reviste dificultad, y tiene dos partes, en la primera se calcula las potencias de la matriz A, y la traza de cada una de ellas, en segundo lugar se calculan los coeficientes pi del polinomio característico. Para hallar las potencias de la matriz A se emplea un código similar al que empleamos para hallar las potencias de un número. En aquella ocasión la potencia de orden cero de un número es la unidad, en este caso es la matriz unidad de la misma dimensión que A.

Matriz pot=new Matriz(n);

for(int i=0; i<n; i++){

pot.x[i][i]=1.0;

Luego, se calcula las trazas de las distintas matrices pot cuando se van elevando ésta (this) a las sucesivas potencias llamando a la función miembro traza de la clase Matriz, y la guarda en el array s.

for(int i=1; i<=n; i++){

pot=Matriz.producto(pot, this);

s[i]=pot.traza();

El polinomio característico tiene por primer coeficiente la unidad, el resto de los coeficientes se calculan codificando las relaciones (1) en un doble bucle.

Propiedades

Multiplicidad algebraica

La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de A es el orden de λ como cero del polinomio característico de A; en otras palabras, si λ es una de las raíces del polinomio, es el número de factores (t − λ) en el polinomio característico tras la factorización. Una matriz n×n tiene n valores propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya que su polinomio característico tiene grado n.

Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre de "valor propio simple".

Por ejemplo, se pueden encontrar exposiciones como la siguiente en artículos de teoría de matrices:

"los valores propios de una matriz A son 4,4,3,3,3,2,2,1,"

lo que significa que la multiplicidad algebraica de 4 es dos, la de 3 es tres, la de 2 es dos y la de 1 es uno. Se emplea este estilo porque la multiplicidad algebraica es la clave de muchas demostraciones matemáticas en teoría de matrices.

Anteriormente se ha definido la multiplicidad geométrica de un valor propio como la dimensión del espacio propio asociado, o el núcleo (espacio propio de los vectores propios del valor propio nulo) de λI - A. La multiplicidad algebraica también puede entenderse como una dimensión: es la dimensión del espacio propio generalizado (1.er sentido) asociado, que es el núcleo de la matriz (λI - A)k para k suficientemente grande. Es decir,

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