Las Ciencias Formales 2º Cuat.

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Introd. al Pens. Científico

Resumen del Capítulo 4: Las Ciencias Formales 2º Cuat. de 2010

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CAPITULO 4: Las Ciencias Formales

4.1. La matemática: constructos formales y realidad.

Una demostración es una prueba lógica, no supone una prueba empírica ni afirma o niega nada acerca de la verdad fáctica de las premisas o conclusiones involucradas. En lógica, aritmética, geometría, la verdad de las proposiciones no se demuestra mediante ningún método experimental. En estos casos, una prueba lógica es un “señalamiento” de las implicancias entre un conjunto de proposiciones llamadas “axiomas” (que no se demuestran) y otras proposiciones llamadas “teoremas” que sí deben demostrarse.

Desde el punto de vista lógico, una demostración puede verse como un argumento cuyas premisas son los axiomas o postulados, y la conclusión es la conjunción de todos los teoremas deducidos. Esta cuestión lógica tiene que ver con la validez de la interferencia y afecta al plano sintáctico, a la admisión de ciertas reglas dentro del lenguaje, y no a la verdad o falsedad empírica de sus proposiciones. A diferencia de las proposiciones de las ciencias fácticas, sólo los “vacíos” teoremas deducidos de los axiomas son verdaderos, pero no dicen nada acerca del mundo.

La aplicabilidad de las ciencias formales a la realidad es objeto de discusión filosófica. Popper afirma que es insostenible la creencia de que cualquiera de los cálculos de la aritmética es aplicable a cualquier realidad. La aplicación no es real, sino aparente.

La concepción clásica sobre la metodología de las ciencias formales se encuentra ya en Aristóteles, cuando destaca los 3 supuestos fundamentales de la ciencia demostrativa:

•Supuesto de deducibilidad: admite que la ciencia demostrativa debe partir de ciertos principios, los indefinibles, que servirán para definir cualquier otro término, y, por otro lado, deberá partir de los indemostrables o axiomas para demostrar todas las verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas.

•Supuesto de evidencia: exige que los axiomas sean de tal naturaleza que se los pueda aceptar como verdaderos sin demostración. La evidencia debe alcanzar también a los términos primitivos de manera que su claridad permita aceptarlos sin definición. Las definiciones son las encargadas de declarar unívocamente el ser de las cosas y por ello serían verdaderas.

•Supuesto de realidad: los dos supuestos anteriores se admiten junto a este, puesto que, para Aristóteles, “ciencia” es siempre”ciencia de la realidad”.

El prototipo de esta “presentación axiomática” son los Elementos de la Geometría de Euclides. En los Elementos, toda la geometría, hasta entonces una reunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras, se convierte en ciencia deductiva: de este modo, el conocimiento empírico pasa a ser conocimiento formal.

Además de los axiomas, Euclides emplea postulados.

•Axiomas: 1.“Cosas iguales a una misma cosa, son iguales ente sí.”

2.“Si a cosas iguales se le agregan cosas iguales, las sumas son iguales.”

•Postulados: 1.Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.

2.Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.

3.Con cualquier centro y con cualquier radio se puede trazar una circunferencia.

4.Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5.Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado que están los ángulos menores que dos rectos.

Los axiomas tienen un carácter general, mientras que los postulados son considerados como los puntos de partida específicos de cada ciencia. Ambos son considerados verdades evidentes que no tienen necesidad de demostración. Sobre la base de ellos demuestra un conjunto de proposiciones; estas proposiciones demostradas son los teoremas.

Durante el siglo XIX y principios del XX, desarrollos revolucionarios en el campo de las matemáticas pusieron en crisis los presupuestos de la ciencia demostrativa.

•Saccheri: sustituyó el postulado de las paralelas por otros supuestos contrarios y después trató de deducir una contradicción del conjunto de los otros postulados de Euclides y este nuevo conjunto de enunciados. Demostró que la geometría euclideana es incompatible con otras, y no contradictoria.

•Gauus, Lobachevsky, Bolyai y Riemann: abrieron nuevos caminos para el desarrollo del sistema aximático.

•Bool y De Morgan: en el campo de la lógica, constituyeron un estímulo para que distintas disciplinas incorporaran desarrollos cada vez más generales.

•Teoría de conjuntos de Cantor y la lógica de Frege: aportaron el maximo de generalización premisible para la época, y permitieron caracterizar una nueva concepción de las ciencias formales.

•Whitehead y Russell: en los Principia Mathematica complementan la tarea revolucionaria. En esta concepción, la visión clásica de las ciencias deductivas es reemplazada por otra donde la matemática se presenta como una jerarquía de estructuras caracterizadas por ciertas propiedades formales definidas axiomáticamente.

Euclides ya no es la última palabra en geometría, puesto que se pueden construir nuevos sistemas geométricos empleando axiomas distintos e incluso incompatibles con los suyos. La convicción de que los axiomas pueden establecerse en virtud de su autoevidencia resultó desmentida.

4.2. Sistemas axiomáticos:

Los componentes de los sistemas axiomáticos son:

•Los términos primitivos.

•Las definiciones.

•Los axiomas.

•Reglas (razonamientos deductivos)

•Teoremas.

A fines del S.XIX, Peano intentó sistematizar axiomáticamente las verdades conocidas tradicionalmente sobre los números naturales, sus propiedades y operaciones básicas. Ejemplo: algunos componentes del sistema axiomático construido:

•Términos primitivos:

C1 Número natural.

C2 Cero.

C3 El siguiente de.

•Axiomas:

A1 Si un objeto es número natural, el siguiente también lo es.

A2 El cero es un número natural.

A3 El cero no es el siguiente de ningún número natural.

A4 Dos objetos con el mismo siguiente son el mismo número natural.

A5 Si el cero tiene una propiedad Ø y el que un número natural sea Ø implica que su siguiente también es Ø, entonces todo número natural tiene Ø.

(A5 es considerado un sistema axiomático ya que tiene una variable Ø)

•Teoremas:

T1 El siguiente del siguiente de cero es un número natural.

T2 El siguiente del siguiente de cero no es el siguiente de cero.

T3 Cero no es el siguiente del siguiente de cero.

• Definiciones:

D1 Uno es el siguiente de cero.

D2 Dos es el siguiente de uno.

Los términos primitivos no se definen, pero sirven para definir otros términos (un intento de definir todos los términos conduciría a un círculo vicioso) Para evitar esto, en un sistema axiomático se seleccionan ciertos conceptos primitivos, y se definen a partir de ellos todas las demás nociones necesarias. Construcción de un sistema axiomático:

•1° paso: Consiste en proporcionar una lista de todos los términos sin definición (es conveniente disponer sólo de pocos de estos términos)

•2° paso: Consiste en establecer una relación de todas las proposiciones para las que no se dan demostraciones. Estas proposiciones son los axiomas del sistema.

•3° paso: Para los axiomas es necesario partir de enunciados que no necesiten demostración. Los axiomas se consideran enunciados verdaderos sin que su verdad se derive de otros enunciados. Se busca siempre partir del menor número de axiomas.

Los axiomas y las definiciones son aparentemente triviales (Ej. Si soy argentino o soy argentino, entonces, soy argentino.) Aquí radica la fuerza de un sistema axiomático, en la medida en que, construido sobre sencillos axiomas, un sistema axiomático conduce a la formulación completa de una ciencia de ellos derivada.

· 4° paso: Consiste en desarrollar el sistema, deducir las consecuencias lógicas mediante el empleo de reglas de inferencia, que, en todos los casos, son razonamientos deductivos. Estas consecuencias son los teoremas del sistema.

Puede definirse a un teorema como “el último paso de una demostración”. Una demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es un axioma o es una consecuencia lógica de otros enunciados anteriores, en virtud de una regla de inferencia. Dado que los axiomas se admiten como enunciados verdaderos y las reglas de inferencia son razonamientos deductivos (transmiten la verdad entre premisas y conclusión), los teoremas son enunciados verdaderos.

4.2. Propiedades de los sistemas

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