Las coeforas

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.

Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a  x0  x1  x2  x3  .........  xn1  xn  b donde  xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma , xi1  ti  xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .

Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).

Una página interesante para ampliar sobre las sumas de Riemann y visualizar animaciones resulta

Ejemplo: Halle

Como f(x)  x3 es continua en el intervalo [2, 1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud y para el cálculo de la integral consideramos el extremo derecho de cada subintervalo ti  .

  

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:





  



Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas

La integración es un concepto

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