Los Conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

¿Qué es un conjunto?

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica, así como la misma ontología.

Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de él.

A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos.

Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión

¿Qué es un elemento?

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un conjunto.

Por ejemplo, para los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto. Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, porque ellos son alumnos de colegio. 1, 3,5 son elementos del segundo conjunto porque son números impares.

Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo.

Por extensión

Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 9:

Por comprensión

Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las letras vocales del abecedario:

Dos conjuntos son idénticos si, y sólo si, contienen los mismos elementos. Se puede obtener una descripción más detallada en la teoría de conjuntos.

Las aplicaciones de teoría de conjuntos son muy amplias, y baste con mencionar que se utiliza en el diseño de circuitos en electrónica digital; en cuestiones relacionadas con probabilidad; y sus conceptos están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas.

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

DIAGRAMA DE VENN

REPRESENTACION DE UN CONJUNTO

A es subconjunto de B.

Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:

Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: o bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.

UNION DE CONJUNTOS.

Es la unión de los elementos de dos o más conjuntos, formando un nuevo conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en esto se diferencia la unión de conjuntos del concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los conjuntos.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}

La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c}

mientras que según el concepto clásico de la suma hubiésemos puesto:

A + B = d + f + g + h + b + c + d + f.

Propiedades de la unión de conjuntos:

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:

• VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

• AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

• (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos

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