Los ejercicios de álgebra

SUMA DE MONOMIOS

La suma o adición tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola (suma). Así, la suma de ay b es a + b, porque está última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b

Para realizar la suma de monomios, nos debemos fijar en los coeficientes y sus acompañantes, las variables (o también conocidos como parte literal, por aquello de que son letras).

a) Suma de monomios semejantes: En este caso, los monomios tienen las variables iguales, con los mismos exponentes, procederemos agrupándolos según su parte literal y sumando normalmente:

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.

1.- A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x

B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

+

-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10

______________________________

-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x – 18

2.- A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)

B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4

+

4x3 - 5x2 + 2x + 1

____________________

4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3

3.- A = 9 + 5x3 - 4x2 + x

B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9

+

0x3 + 4x2 - 2x - 3

____________________

5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6

RESTA DE MONOMIOS

La resta o sustracción tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia), con lo que resulta evidente que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.

Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a-b. En efecto: a-b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a:

a – b + b = a

por regla general, para restar se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, y luego se reduce los términos semejantes, si los hay.

RESTA DE POLINOMIOS

En el cso de que el sustraendo sea un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, por lo que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.

1.-5x2 - 2x + 4

-

8x2 + 3x - 1

____________

-3x2 - 5x + 5

2.- A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x

B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

-

5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x – 10

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

3.- A = 5x - 4 - 3x2

B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2

0x3 - 3x2 + 5x - 4

+

-4x3 + 5x2 - 2x - 1

____________________

-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x – 5

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Está operación (dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador) tiene por objeto

Hallar una tercera cantidad (producto) que sea respecto del multiplicando (en valor absoluto y signo ) lo que es el multiplicador respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son los factores del producto.

La propiedad de que el orden de los factores no altera el producto, se cumple tanto en Aritmética como en Álgebra.

1.- axn • bxm = (a • b)xn +m

2.- (5x2 y3 z) • (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3

3.- 5 • (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Esta operación dado el producto de dos factores (dividiendo) y uno de los factores (divisor), tiene por objeto hallar el otro factor (cociente), de lo que se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

axn : bxm = (a : b)xn − m

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

2x4 : x2 = 2 x2

5x3 : x2 = 5 x

8x2 : x2 = 8

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Cuadrado de un binomio

Básicamente se escriben así:

Si efectuamos las operaciones nos queda:

Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (25xy z ) seguirán exactamente la misma mecánica. Se puede acortar como:

El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a + b) es igual al cuadrado de la primera (a ) más el doble producto de ellas (2ab) más el cuadrado de la segunda (b ).

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b) ) es igual al cuadrado de la primera

(a ) menos el doble producto de ellas (-2ab) más el cuadrado de la segunda (b ).

Ejemplo:

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos , por lo tanto

Es decir

EJEMPLO:

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

EJEMPLO:

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

EJEMPLO:

Desarrollar

SOLUCIÓN:

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.

Consideremos , por lo tanto

Es decir

EJEMPLO:

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

EJEMPLO:

Desarrollar

SOLUCIÓN:

BINOMIOS CONJUGADOS

Binomios Conjugados: Producto notable que permite desarrollar binomios con las siguientes características de forma rápida y sencilla, es necesario considerar que como resultado se obtiene UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS: El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número.

Consideremos el producto:

Es decir

EJEMPLO:

Multiplicar

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número:

Cuadrado del segundo número:

...