MATEMATICAS

PUNTO 1

¿Existe f(1)? Si existe, ¿Cuál es la imagen?

Rta/ La función evaluada en 1, si existe.

Calcular lim┬(X→1)⁡〖f(x)〗=

Rta/ El limite cuando x tiende a 1 de la función, acercándonos por la derecha es igual a 2.

lim┬(X→1)⁡〖f(x)〗=2

¿La función f es continua en x =1? Justifique

Rta/ f(1)=1→Existe

lim┬(X→1)⁡〖f(x)〗=2→Existe

lim┬(X→1)⁡〖f(x)=2〗 y f(1)= 1→No cumple lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗

Por lo tanto, la función f no es continua en x = 1

¿Qué valores deben asignarse a f(2) para que la función sea continua en ese punto?

Rta/ f(2) no existe, por lo tanto no es una función continua, así que no se le puede asignar ningún valor.

Calcular lim┬(X→0+)⁡f(x)

Rta/ El límite cuando x tiende a 0 por la derecha de la función acercándonos por la derecha es igual a 0.

lim┬(X→0+)⁡f(x)=0

Calcular lim┬(X→0-)⁡f(x)

Rta/ El límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de la función acercándonos por la izquierda es igual a -1

lim┬(X→0-)⁡f(x)= -1

PUNTO 2

2. Calcular la derivada de la función y simplifique su respuesta.

f(x)=((2√x)/(2√x+1))^2

Derivamos la raíz

f(x)= ((2x^(1/2))/(2x^(1/(2 ))+1))^2

Derivamos utilizando la regla de la cadena para potencias

f(x)=2 ((2x^(1/2))/(2x^(1/(2 ))+1)) *((2x^(1/2))/(2x^(1/(2 ))+1))

Derivamos la segunda expresión con la regla del cociente.

f(x)=2 ((2x^(1/2))/(2x^(1/(2 ))+1)) *(█((x(2x^(1/2)+1)-(x)(2x^(1/2) ))/(2x^(1/(2 ))+1)^2 ))

Resolvemos las operaciones

fx=((4√x)x/((2√x+1) (2√x+1)^2 ))=4x/(2√x+1)^3

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