Manual Matematicas

Es un buen libro.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

C´ ALCULO I

PROBLEMAS RESUELTOS

Rodrigo Vargas

Santiago de Chile

2007

ii

Prefacio

Este libro con problemas resueltos pretende sirvir como texto para estudiantes

en un primer curso de C´alculo. As´ı espero facilitar el estudio y

la comprensi´on de los estudiantes. Grupos especiales, estudiantes avanzados,

lectores que deseen una presentaci´on m´as completa y los alumnos, por

as´ı decirlo, normales que busquen lecturas complementarias pueden consultar

el libro “An´alisis Real” volumen 1 de Elon Lages Lima que trata los mismos

t´opicos con un enfoque m´as amplio.

La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, que

sirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en muchos textos

de c´alculo y como oportunidad para que el lector compruebe lo sencillo de

algunas soluciones. Naturalmente, me gustar´ıa que el lector s´olo consultase

las soluciones despu´es de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada

problema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´exito, el que nos conduce

a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

Los problemas que el lector encontrar´a se basan en las ayudant´ıas del curso

de c´alculo en la Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, el cual est´a dirigido

a estudiantes de Bachillerato.

iii

iv

´I

ndice general

1. N´umeros Reales 1

2. Sucesiones de N´umeros Reales 37

3. L´ımites de Funciones 65

4. Funciones Continuas 75

5. Derivadas 83

6. F´ormula de Taylor y Aplicaciones de la Derivada 103

v

vi

Cap´ıtulo 1

N´umeros Reales

1.1. Pruebe que para cada a, b ∈ R se tiene que −(a + b) = (−a) + (−b).

Soluci´on: Si a, b ∈ R entonces a+b ∈ R y existe un elemento −(a+b)

tal que

(a + b) + (−(a + b)) = 0 .

Por otro lado, usando la asociatividad y conmutatividad de la suma,

obtenemos

(a + b) + (−a) + (−b) = (a + (−a)) + (b + (−b)) = 0

entonces (−a) + (−b) es inverso aditivo de (a + b), de la unicidad del

inverso aditivo, se concluye que

−(a + b) = (−a) + (−b) .

1.2. Pruebe que para cada x ∈ R, −(−x) = x.

Soluci´on: Si x ∈ R existe −x ∈ R tal que

x + (−x) = 0

y adem´as para −x existe elemento inverso −(−x) ∈ R tal que

(−x) + (−(−x)) = 0

de la unicidad del inverso aditivo concluimos que

−(−x) = x .

1

2 §1. N´umeros Reales

1.3. Sea x ∈ R, pruebe que x · 0 = 0 · x = 0.

Soluci´on: Notemos que

x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x · 1 = x

sumando −x a ambos lados de la igualdad x · 0 + x = x, obtenemos

x · 0 = 0.

1.4. Pruebe que si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0.

Soluci´on: Si b 6= 0 entonces podemos multiplicar por b−1 y obtenemos

a

...