Masa Efectiva

Equipo 3

Masa efectiva

La masa efectiva de una partícula es la masa que parece tener en un cristal según el modelo semiclásico de transporte. Parece ser que, bajo ciertas condiciones, los electrones y los huecos de un cristal se comportan a campos magnéticos y eléctricos como si estuvieran libres en el vacío pero con una masa diferente. Generalmente no es igual que la masa del electrón libre. Esta masa se suele expresar como una constante por la masa del electrón.

La masa efectiva, m*, se determina por la estructura de bandas y varía según el tipo de material. Depende de la curvatura de la superficie E-k.

Una delas consecuencias más importantes de la existencia de bandas en los sólidos se manifiesta en la respuesta que presentan los electrones ligados aun campo eléctrico externo. La distinta respuesta de los electrones en función de su situación en las bandas de energía será recogida por la magnitud masa efectiva. En concreto, esta magnitud nos relacionara directamente la aceleración, a, del electrón con la fuerza externa aplicada, esto es,:

Es importante notar que la ley de newton nos dice que es la suma vectorial de todas la fuerzas que actúan sobre el electrón (externas más internas) es igual a su masa real (me) por su vector aceleración.

Esta expresión nos clarifica que en aquellos casos en los que existan fuerzas internas no existirá una relación trivial entre la aceleración y las fuerzas externas dado que será precisamente la masa efectiva la que recogerá el efecto global de las fuerzas internas.

FUNCIONES DE BLOCH

Las funciones propias de la ecuación de ondas para un potencial periódico son el producto de una onda plana exp(ik∙r) por una función uk(r) que pese la periodicidad de la red cristalina.

Una función de ondas de un electrón de la forma:

Se denomina función de Bloch y puede descomponerse en una suma de ondas móviles. Las funciones de Bloch pueden combinarse en paquetes de ondas localizados para representar electrones que se propagan libremente a través del campo potencial de los núcleos iónicos.

Una restricción del teorema de Bloch, es cuando Ψk es no degenerada. Es decir, cuando no existe ninguna otra función de ondas con la misma energía y vector de ondas que Ψk

Bandas de energía

Consideremos N puntos idénticos de la red situados sobre un anillo de longitud Na.

La energía potencial es periódica en a con:

De donde s es un número entero.

Guiándose de la simetría del anillo para buscar soluciones de la ecuación de ondas tales que:

En donde c es una constante. Entonces, al recorrer una vez el anillo,

Porque Ψ(x) debe tener un valor único. Se deduce entonces que C es una de las N raíces de la unidad, o sea

De donde vemos que

Satisface:

Con tal que tenga la periodicidad a, de modo que

Con:

Tenemos el resultado de Bloch.

En conclusión el teorema de Bloch

El teorema de Bloch describe el movimiento de los electrones en un sólido. Fue enunciado por el físico suizo Felix Bloch basándose en la idea de que un sólido posee una estructura microscópica periódica. A partir de esta hipótesis, el teorema establece de qué manera deben ser las funciones de onda de los electrones, y permite tratar el movimiento de todos los electrones analizando únicamente el movimiento de un solo electrón.

El teorema de Bloch describe el movimiento de los electrones en un sólido, basándose en lo siguiente:

* Los átomos del cristal forman una estructura periódica y ocupan las posiciones de una red de Bravais denotadas por un vector

* Los electrones son independientes, no interactúan entre sí y cada uno satisface la ecuación

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