Matematicas

Introducción

Mediante los ejercicios propuestos en la actividad, desarrollaremos habilidades, para la solución de situaciones, es de gran importancia para nuestra carrera profesional tener los conocimientos necesarios para ser más competitivos en el ámbito laboral.

Ejercicios.

1. De la siguiente función g (x) = {(x, y) / 3x2 – 4y2 = 12}. Determine:

a) Dominio b) Rango

Según la ecuación canoníca de la hipérbola tenemos:

(x-h)^2/a^2 -(y-k)^2/b^2 =1

Donde el centro está dado por la coordenada (h,k) y los puntos de corte con el eje x son –a y a debido a que la hipérbola abre en el eje x (es horizontal).

De lo anterior podemos determinar que el dominio se encuentra especificado por los cortes en x que para nuestra ecuación es [-2, 2]. El rango contiene a todos los reales ya que es una hipérbola que abre horizontalmente.

(x-0)^2/2^2 -(y-0)^2/〖√3〗^2 =1

2. Dada las funciones f (x)= 8x - 1; g (x) = √(x-2)

. Determine:

a) f + g b) f - g c) (f o g)(2) d) (g o f) (2)

Solución:

a) f(x) + g(x) = 8x-1+√(x-2)

b) f(x) - g(x) = 8x-1-√(x-2)

c) (f o g) = 8(√(x-2))-1

d) (g o f) = √(8x-1-2) = √(8x-3)

3. Verifique las siguientes identidades:

Considerando que cos⁡x^2=1-sin⁡x^2 y que sec⁡x=1/cos⁡x tenemos:

a) cos⁡x/(1-sin⁡x )=(1+sin⁡x)/cos⁡x

a) cos⁡x^2 =(1-sin⁡x )(1+sin⁡x )

=1- sin⁡x+sin⁡x-sin⁡x^2

=1-sin⁡x^2

b) sec x = sen x (tan x + cot x)

〖b) sec〗⁡x=sin⁡x tan⁡x+sin⁡x cot⁡x

=sin⁡x^2/cos⁡x +cos⁡x

=(sin⁡x^2+cos⁡x^2)/cos⁡x

=1/cos⁡x

4. Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo medido desde la base del poste.

El diagrama siguiente describe la situación planteada anteriormente:

k

Podemos determinar el valor de x a partir del siguiente cálculo:

cos⁡17=72[ft]/x x=72[ft]/cos⁡17 =75.289806 [ft]

Podemos observar que tenemos un triangulo escaleno cuyos lados son 40[ft] y 75.289806 [ft] con un ángulo entre estos catetos de 107°. La longitud del cable se determina por medio de la siguiente ecuación:

k=√(〖40〗^2+〖75.289806〗^2-2*40*75.289806*cos⁡〖107°〗 )= 92.024016 [ft]

5. Encuentre el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°

a) 2 sen2 x – cos x – 1 = 0

Realizando cambios a partir de identidades trigonométricas encontramos:

2(1-〖cos〗^2 x)-cos⁡x-1=0 2〖cos〗^2 x+cos⁡x-1=0

(-1±√(1+4*2))/4= R+=0.5 y R-=-1 cos⁡x=R± x=±60° o x=±180°

Al reemplazar en la ecuación original: tenemos:

Para x= 60: 2 sen2 60 – cos60 – 1 = 0

Para x =-60° o 300° 2 sen2 300 – cos300 – 1 = 0

Para x=180 o -180° 2 sen2 180 – cos180 – 1 = 0

b) 4 sen2 x tan x – tan x = 0

Realizando cambios a partir de identidades trigonométricas encontramos:

tan⁡x (4〖sen〗^2 x-1)=0 tan⁡x=0 y (4〖sen〗^2 x-1)=0

Para tan x = 0 el valor será x=tan^(-1)⁡0=0,180,360

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