Matrices Transpuertas Y Inversas

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

Matriz transpuesta

Sea una matriz con filas y columnas. La matriz transpuesta, denotada con .1 2

Está dada por:

En donde el elemento de la matriz original se convertirá en el elemento de la matriz transpuesta .

Ejemplos[editar]

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

Propiedades[editar]

Para toda matriz

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo y sea :

Si el producto de las matrices y está definido,

Si es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas[editar]

Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su transpuesta:

Una matriz cuadrada es antisimétrica si su transpuesta coincide con su inverso aditivo.

Si los elementos de la matriz son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

y antihermítica si

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Matriz inversa

El producto de una matriz por su inversa es igual almatriz identidad.

A • A-1 = A-1 • A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:

1º Cálculo pòr determinantes

Ejemplo

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando

...