Matrices

Las matrices son arreglos de números, tienen una aplicación potencial siempre que una información numérica se pueda acomodar de manera significativa en bloques rectangulares.

Un área de aplicación del algebra matricial son las graficas por computadora. En un sistema de coordenadas, un objeto puede representarse por medio de una matriz que contenga las coordenadas de cada vértice o esquina. Por ejemplo, podríamos configurar un esquema de conexión por puntos en el que el rayo que se muestra este representado por la matriz de la derecha.

Con frecuencia las graficas por computadora muestran objetos que giran en el espacio. En una computadora, la rotación se realiza por medio de una multiplicación de matrices. El rayo se gira 52 grados en contra del sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen, esto por medio de la multiplicación de matrices, que incluye una matriz cuyas entradas son funciones trigonométricas del ángulo de rotación

Matrices

La búsqueda de formas para describir situaciones en matemáticas y economía condujo al estudio de arreglos rectangulares de números, por ejemplo considere un sistema de ecuaciones lineales.

Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede describirse por el arreglo rectangular

que es llamado matriz. Consideraremos a tales arreglos rectangulares como objetos por si mismos, se acostumbra encerrarlos entre corchetes, y también es común que se utilicen paréntesis. En la representación simbólica de matrices usaremos letras mayúsculas en negritas como A, B, C, etcétera.

No utilice barras verticales en lugar de corchetes o paréntesis, ya que ellas tienen un significado diferente.

Una matriz que tiene exactamente un renglón, tal como la matriz de 1 X 4

A = 1 7 12 3

Se llama matriz renglón o vector renglón. Una matriz que consiste en una sola columna como la matriz de 5 X 1

Se llama matriz columna o vector columna.

Matrices Inversas

En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inverso multiplicativos a diferencia de algebra común donde cada número real a diferente de cero tiene su inverso multiplicativo b.

Matriz identidad:

La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones.

Ejemplos de matrices identidad de diferentes órdenes.

La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n, es la matriz cuadrada tambien de orden n que verifica:

Donde I es la matriz identidad de orden n.

Existencia de la matriz inversa:

Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa se llaman singulares.

Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.

Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.

Propiedades

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguiente

1.- si existe es única.

2.

3.

4. El determinante de una matriz regular A es el inverso del determinante de su matriz inversa:

Calculo de la matriz inversa

La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo

hacemos

como

Operando:

...