Matrices

Universidad de Oriente

Núcleo Anzoátegui

Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas

Departamento de Computación y Sistemas

Cátedra: Métodos Numéricos

Matrices

Profesor: Bachiller:

Tirso García Tinedo Eddmir

C.I 19.709.985

Matrices

Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz. Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j]. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas. La convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Orden de una Matriz

Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q significa que tiene p filas y g columnas.

Suma de matrices

Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar.

Propiedades de la suma de matrices

•Asociativa

Dadas las matrices m-por-n A , B y C

A + (B + C) = (A + B) + C

•Conmutativa

Dadas las matrices m-por-n A y B

A + B = B + A

•Existencia de matriz cero o matriz nula

A + 0 = 0 + A = A

•Existencia de matriz opuesta

Con -A = [-aij]

A + (-A) = 0

Producto de una matriz por un escalar

Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Producto de matrices

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas).

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

Determinante

En matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo En. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del álgebra lineal y puede concebirse como una generalización del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.

Dos ejemplos

El caso n = 1 carece totalmente de interés, veamos los casos n = 2 y luego n = 3.

Una observación preliminar: una aplicación alterna es también antisimétrica.

En efecto, con n = 2 por ejemplo:

f( v + w, v + w) = o por ser f alterna, luego si se desarrolla el miembro izquierdo, se obtiene:

f( v + w, v + w) = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v, v) = 0 + f(u, v) + f(v, u) + 0.

Igualando los dos resultados se concluye que f(v, u) = - f(u, v), lo que es la antisimetría.

En la base (e1, e2) de E, sea u = a•e1 + b•e2 y v = c•e1 + d•e2 dos vectores cualesquiera. De aqui en adelante, se notará det el determinante.

det(u, v) = det(a•e1 + b•e2, c•e1 + d•e2) = c•det(a•e1 + b•e2, e1) + d•det(a•e1 + b•e2, e2)

Linealidad a la derecha es decir con relación al segundo argumento

= c•a•det(e1, e1) + c•b•det(e2, e1) + d•a•det(e1, e2) + d•b•det(e2, e2)

Linealidad a la izquierda

= c•a•0 + c•b•(-1) + d•a•1 + d•b•0 = ad - bc

la forma alterna anula det(e1, e1) y det(e2, e2), y la antisimetría hace que det(e2, e1) = - det(e1, e2) = -1

por definición, det(e1, e2) = 1

Si se disponen los vectores en columna, se constituye una matriz cuyo determinante se calcula por la regla de los productos cruzados:

Se procede de la misma manera en el caso n = 3; sin embargo, para eludir cálculos más largos, es preferible reflexionar antes de echarse a llenar hojas.

Se toma tres vectores, u, v y w, y se les descomponen en la base (e1, e2, e3).

Al desarrollar el determinante, se tendrá que descartar todos los casos en que aparezca varias veces el mismo vector. Quedarán pues sólo términos donde aparecen una vez los tres vectores de las base, mas en un orden cualquiera. Se dice que hay una permutación de e1, e2 y e3.

Por ejemplo: det(e3,e1,e2) = - det(e1,e3,e2) = det(e1,e2,e3) = 1, aplicando la antisimetría dos veces.

Al pasar del primer miembro al último, se ha multiplicado dos veces por -1, o sea una vez por (-1)².

Este último factor es la signatura (o firma) de la permutación que envía (e1, e2,e3) en (e3, e1, e2).

El conjunto de las permutaciones (de tres elementos) se llama el grupo simétrico (de orden 3), S3. S3 tiene tres permutaciones pares, es decir de signatura 1, y tres impares, de signatura -1. Se nota ε(σ) o sgn(σ) la signatura de la permutación σ (sgn como signature,firma en francés, o signo).

Con todos estos datos, se puede hallar el determinante de orden 3: El método de Sarrus consiste en escribir los tres vectores en columna y repetir las dos primeras líneas por debajo de la matriz; las permutaciones pares corresponden a las diagonales descendientes mientras que las impares corresponden a las ascendientes. Sobre cada diagonal se multiplican los números, y se suman o restan los productos.

Fórmula general

El raciocinio detallado del caso n = 3 permite la generalización. Sea un valor cualquiera de n, y los vectores:

v1 = a 1,1e1 + a 2,1e2 +... + a n,1en,

v2 = a 1,2e1 + a 2,2e2 +... + a n,2en,

y así sucesivamente hasta :

vn = a 1,ne1 + a 2,ne2 +... + a n, nen.

Y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores v1,... vn. A = (ai, j)1≤i, j≤n.

Esta definición de determinante fue propuesta por Leibnitz. Excepto en casos sencillos, esta fórmula no resulta muy práctica a causa del número excesivo de permutaciones. Afortunadamente, existe una manera de desarrollar el determinante según una línea (una columna o una fila):

donde ci,j representa el determinante del adjunto de ai,j

Es la fórmula de Laplace.

Métodos de cálculo

Determinantes de orden 1

Una matriz de orden 1 no es más que un número. Por ejemplo, la matriz (4) es una matriz de orden 1, pues tiene 1 fila y 1 columna. Así, las matrices de orden uno son de la forma (a1,1). El determinante de dicha matriz es det(a1,1) = a1,1. Así, por ejemplo,

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