Matrices

Matrices

• Concepto de matriz

• Definiciones

• Suma y resta

• Producto

• Propiedades del producto

• Matriz inversa

• Forma matricial de un sistema de ecuaciones

• Ecuaciones matriciales

Suma y resta

No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí.

Condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas.

Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elemtentos que ocupan el mismo lugar en cada matriz.

Análogamente para la resta, se restan entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar.

Opera con las siguientes matrices

Suma y resta de matrices

Álgebra Lineal/Suma y resta de matrices

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SUMA Y RESTA DE MATRICES

LA SUMA, A + B, dos matrices A y B del mismo tamaño se obtiene sumando los elementos de ambas matrices. Para la RESTA, A - B, se les restan los elementos correspondientes. Las matrices de distintos tamaños no se pueden sumar ni restar.

Siendo , que pertenecen a los números Reales.

• Ejemplo

A= , B= A + B = + = .

A= , B=

La suma se hace componente a componente.

A + B= =

Algo mas general se puede describir como:

A= , B=

A + B=

• Ejemplo 2

A - B= - = .

La resta se hace componente a componente.

A - B = =

Algo mas general se puede describir como:

A= , B=

A - B=

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Suma - Resta de matrices

S=A+B Sumamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B.

A = ( 3 -1 )

1 6

7 5

B = ( -2 1 )

2 -3

-5 3

S = ( 3+(-2) (-1)+1 ) = ( 1 0 )

3 3

2 8

1+2 6+(-3)

7+(-5) 5+3

S=A-B Restamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B.

EjerMatrik (

)

(

)

= (

)

A B A

B

¡Error! Objeto incrustado no válido.Suma

¡Error! Objeto incrustado no válido.Resta

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el resultado

SUMA DE MATRICES, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Suma de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de B y así sucesivamente.

Es sencillo, pero si aún no lo entendiste fíjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea más evidente el procedimiento.

Suma de matrices

La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

Multiplicación de una matriz por un número real cualquiera.

Si tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.

Viste que es fácil, pero igual aquí va un ejemplo, por las dudas, je je je.

Producto de una matriz por un escalar

Matriz opuesta

Si multiplicamos una matriz A por (-1), se obtiene la matriz -A, que es la matriz opuesta a la dada.

Matriz opuesta

Como te habrás dado cuenta, no hay necesidad de hacer tanto esfuerzo, ya que el resultado es la misma matriz, pero con todos los signos cambiados.

Matriz opuesta 2

Por lo tanto lo único que hay que hacer es cambiarle los signos y listo.

Resta de matrices

La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).

En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.

Resta de matrices

Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.

Resta de matrices 2

Si quiere puedes practicar un poco con el programita que te dejo aquí abajo, el botón: Generar crea matrices al azar, puedes elegir entre suma o resta, resuelve y llena las casillas de resultados y luego con el botón Verificar comprueba si tu resultado es correcto.

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A  (–A)  0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A  (–B)

La operación suma es posible siempre que las dos matrices posean las mismas dimensiones, siendo definido a nivel formal como:

A + B = C (cij = aij + bij)

La sustracción de dos matrices es posible siempre que cumpla las condiciones de la suma, definiendo el proceso formal como:

A - B = C (cij = aij - bij)

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