Matriz Cofactores

MATRIZ DE COFACTORES

Sea A una matriz cuadrada de orden n .

Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai, j.

Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:

El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) .

En el ejemplo, M3,2 = 34

El cofactor de ai, j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai, j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j • Mi, j o ai, j con una tilde encima.

En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:

A•tcom A =tcom A • A = det A• In, donde In es la matriz identidad de orden n.

Dada una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus adjuntos respectivos.

El adjunto de un término de la matriz A resulta del determinante de la submatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que pertenece el término , multiplicado por ( − 1)(i + j). El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss Jordan.

Matrices 2 x 2

Dada una matriz de 2 x 2:

Su matriz de adjuntos viene dada por:

Matrices 3 x 3

Dada una matriz de 3 x 3:

Ejemplo 1.

Obtenga los cofactores A13 y A21 del determinante D dado:

De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A13 está dado por

Y de la misma forma

EJEMPLO 2.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.

Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.

Entonces

MATRIZ TRANSPUESTA

Se llama matriz traspuesta de una matriz de dimensión , a la matriz que se obtiene al cambiar en las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por y su dimensión es

Propiedades









debemos tener en cuenta la trasposición de un vector, que se puede expresar de la siguiente manera;

a=

con lo cual lo podemos trasponer de la siguiente manera:

la traspuesta de una matriz se puede expresar como la matriz de los vectores traspuestos:

un ejemplo de trasposición es el siguiente:

los vectores traspuestos quedarian de la siguiente manera:

la matriz traspuesta seria de la siguiente manera

estos son otros ejemplos de matrices traspuestas:





 Esta operación utilizada para determinar la traspuesta de una matriz se llama trasposición.

 Una matriz que es igual a su traspuesta se denomina SIMETRICA. Algunas operaciones matriciales básicas afectan a la trasposición:

 1.

 2.

 3.

 4.

 5. si A es invertible, también lo es . en este caso

Matriz simétrica

Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con su transpuesta: . En una matriz simétrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales.

Ejemplo

Matriz antisimétrica

Se llama matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta: . En una matriz simetrica cualquier par de

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