Maximos Y Minimos

Máximos y minimos

los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente comoextremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

Función creciente y decreciente

Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráficacrece, decrece o es constante.

Funciones crecientes y decrecientes (primera derivada)

Los valores de x, en los cuales la gráfica de la función es estacionaria, se le llaman valores críticos y a los puntos correspondientes, puntos críticos.

Una función es creciente, cuando a medida que el valor de x aumenta, aumentan el de y; donde tendrán el mismo signo. Cuando una función es decreciente, el valor de y disminuye cuando x aumenta; donde tendrán signos opuestos.

Donde la función es creciente, la tangente forma un ángulo agudo con el eje de las x (la pendiente es positiva). Donde la función es decreciente, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje de las x (la pendiente es negativa). una función es creciente, en un punto dado, si el valor de la primera derivada es positivo; y es decreciente si el valor es negativo.

Mínimo y máximo relativo

Siendo c, un número crítico en un intervalo abierto I.

a) Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f.

b) Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f.

c) Si f´(x) no cambia de signo en c, f(c) no es un máximo ni mínimo relativo.

Una función presenta un máximo relativo, o simplemente un máximo, en un punto si la función vale más que en sus proximidades. Son puntos donde la función pasa de creciente a decreciente.

Una función presenta un mínimo relativo, mínimo, en un punto si la función vale menos que en sus proximidades. Son puntos donde la función pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la primera derivada

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea c un número crítico de una función continua en un intervalo abierto que contiene a c. Si es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces puede clasificarse así:

1. Si cambia en c de negativa a positiva, es un mínimo relativo de .

2. Si cambia en c de positiva a negativa, es un máximo relativo de .

3. Si no cambia de signo en c (esto es es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces carece de extremo local en c.

Criterio de la primera derivada.

1.1. Teorema.

Teorema 1.1. Supongamos que f(x) es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] y c ∈ (a, b) es un numero crıtico.

Si f’(x) > 0 para toda x ∈ (a, c) y f 0 (x) < 0 para toda x ∈ (c, b) (es decir, f(x) pasa de ser creciente a ser decreciente en c), entonces f(c) es un m´aximo local.

Si f’(x) < 0 para toda x ∈ (a, c) y f 0 (x) > 0 para toda x ∈ (c, b) (es decir, f(x) pasa de ser decreciente a ser creciente en c), entonces f(c) es un m´ınimo local.

Si f’(x) tiene el mismo signo en (a, c) y en (c, b), entonces f(c) no es ni m´aximo ni m´ınimo.

2. Criterio de la segunda derivada.

2.1. Teorema.

Teorema 2.1. Supongamos que f(x) es una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(c) = 0 para alg´un n´umero c ∈ (a, b).

Si f’’ (c) < 0, entonces f(c) es un m´aximo local

...