Metodos Numericos

INTRODUCCION

El método numérico o análisis numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

En esta segunda unidad vemos como se utiliza la factorización o descomposición LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, por ejemplo si un elemento de la diagonal es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método llamado factorización PA = LU o LU con pivote.

Utilizaremos los métodos Gauss-Seidel para resolver ecuaciones y el método de las diferencias divididas este método consiste en ir calculando el valor diagonal de cada celda del arreglo triangular y copiarlo hacia abajo.

1. Encuentre las matrices L y U, además halle la solución del Siguiente sistema:

2x1 – x2 + x3 = 5

3x1 + 3x2 - 9x3 = 6

3x1 - 3x2 + 5x3 = 8

El sistema lineal en su forma matricial es:

A=[■(2&-1&1@3&3&-9@3&-3&5)] ; X=[■(x_1@x_2@x_3 )] ; b=[■(5@6@8)]

2 -1 1 5

[A]= 3 3 -9 [B]= 6

3 -3 5 8

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 3 / 2 = 1.5

factor 2 = (a31 / a11) = 3 / 2 = 1.5

Encontrando [U]

fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)

a11 = a11

a12 = a12

a13 = a13

a21 = - (1.5) * (2) + (3) = 0

a22 = - (1.5) * ( -1) + (3) = 4.5

a23 = - (1.5) + (- 1) + (- 1) = 0.5

a31 = - (1.5) * (2) + (3) = 0

a32 = - (1.5) * (- 1) + (-3) = -1.5

a33 = - (1.5) * (1) + (5) = 3.5

2 -1 -1

[U] 0 4.5 0.5

0 -1.5 3.5

Encontrando [L]

1 0 0

[L] 1.5 0 0

1.5 0 0

ITERACIÓN 2

Factor 3 = (u32 / u22) = -1.5 / 4.5 = 0.3333333333

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (-1.5 / 4.5) * (0) + (0) = 0

a32 = - (-1.5 / 4.5) * (4.5) + (-1.5) = 0

a33 = - (-1.5 / 4.5) * (0.5) + (3.5) = 3.666666667

2 -1 -1

[U] 0 4.5 0.5

0 0 3.666666667

Encontrando [L]

1 0 0

[L] 1.5 1 0

1.5 0.333333333 1

POR LO TANTO:

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver

Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Y1=5

1.5y1+y2=6

1.5y1+0.33333333y2+y3=8

Por lo cual:

Y1= 5

Y2= -1.5

Y3=0.999999995

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

(■(2X1&-X2& -X3 = 5@0&4.5X2&0.5X3 =-1.5@0&0& 3.666666667X3 = 0.999999995))

Entonces:

X1= 2.45454544132

X2= -0.363636360331

X3=0.272727242975

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