Metodos Numericos

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

METODOS NUMERICOS

ACT. 4. TAREA. TRABAJO COLABORATIVO # 1

INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS Y RAICES DE ECUACIONES

Presentado a :

Lic. Carlos López Sarasty

Presentado por:

GERMAN ABEL AVILA MENDOZA

C.C. 79381206

Grupo 102003_80

CEAD MEDELLIN

Medellín, 2011.

1. MAPA CONCEPTUAL

UNIDAD 1

“Introducción a los Métodos Numéricos y Raíces de ecuaciones”

INTRODUCCION

1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto:

a) p = 1/3 p* = 0.333

b) p = π p* = 3.14

Tengo entendido π y e son números transcendentes es decir son números que no son algebraicos (es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales)

No puede ver ¿qué es el valor "correcto"? (Supongo este sea p.)

a)

p = ⅓ = 0,33333333333333...

p* = 0,333

i) error absoluto es p - p* = + 0,00033333333333...

ii) error relativo es una "relación": (p-p*)/p =

es decir: relación de la desviación al valor correcto

b)

p = π = 3,14159...

p* = 3,14

i) error absoluto es π - 3,14 = + 0,00159...

ii) error relativo es una "relación": (p-p*)/p =

4. Determine la raíz real de f(x)= -0.2 + 6x - 4x2 + 0.5x3. Usando el método de Newton – Raphson (tres iteraciones usando xi = 4.2).

Tenemos la función dada por:

F(x) = -0.2 + 6x - 4x² + 0.5x³

y queremos encontrar su raíz real utilizando el método de Newton-Raphson.

Recordemos que:

x(n+1) = x(n) - F[x(n)] / F´[x(n)]

Calculemos entonces la derivada de la función:

F´(x) = 6 - 8x + 1.5x²

Luego tendremos:

x(n+1) = x(n) - [ ( -0.2 + 6x(n) - 4x²(n) + 0.5x³(n) ) / ( 6 - 8x(n) + 1.5x²(n) ) ]

Nos dan como condición inicial x(0) = 4.2. Si ponemos n=0 en la ecuación de arriba obtenemos:

x(1) = x(0) - [ ( -0.2 + 6x(0) - 4x²(0) + 0.5x³(0) ) / ( 6 - 8x(0) + 1.5x²(0) ) ]

Es decir:

x(1) = 4.2 - [ ( -0.2 + 6.[4.2] - 4.[4.2]² + 0.5.[4.2]³ ) / ( 6 - 8.[4.2] + 1.5.[4.2]² ) ]

Haciendo las cuentas llegamos a que:

x(1) ~ -3.270175439

Es decir, con el dato x(0) obtuvimos x(1). Si en la fórmula de recurrencia ponemos n=1, obtenemos:

x(2) = x(1) - [ ( -0.2 + 6x(1) - 4x²(1) + 0.5x³(1) ) / ( 6 - 8x(1) + 1.5x²(1) ) ]

Esto nos dice que, con el valor de x(1) (que lo sacamos recién) obtenemos el valor de x(2). Reemplazando:

x(2) ~ [-3.27] - [ ( -0.2 + 6.[-3.27] - 4.[-3.27]² + 0.5.[-3.27]³ ) / ( 6 - 8..[-3.27] + 1.5.[-3.27]² ) ]

obtenemos:

x(2) ~ -1.608788789

Estoy usando el signo aproximado ~ en lugar del igual =, ya que estoy truncando el resultado para no operar con fracciones.

Iteramos una vez más, es decir, reemplazamos n=2 en la ecuación de recurrencia:

x(3) = x(2) - [ ( -0.2 + 6x(2) - 4x²(2)

...