Muestreo Y Estimación

13. MUESTREO Y ESTIMACIÓN

MUESTREO

Muestra Aleatoria de tamaño n es una colección de n variables aleatorias, todas con la misma distribución y todas independientes. La colección de donde extraemos la muestra aleatoria, se denomina Población. Nuestra intención al tomar una muestra, es la de hacer Inferencia. Este término lo usamos en estadística para denotar al procedimiento con el que hacemos afirmaciones acerca de valores generales de la población mediante los números que observamos en la muestra.

A un valor calculado con los datos de una muestra es el Estadístico. Al valor del parámetro en la población es el Estimador. Y es Estimador Puntual cuando se estima el parámetro poblacional a partir de un valor único).

Características probabilísticas de un estimador. Cuando se tiene una fórmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, el resultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias. Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden estar listos para usarse ó defectuosos. Podemos seleccionar, al azar, algunos de ellos para darnos una idea de la proporción de defectuosos en el embarque. El parámetro de interés es la proporción de defectuosos en toda la población, pero lo que observamos es la proporción de defectuosos en la muestra.

Valor esperado de un estimador y sesgo. El valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probable que se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supiéramos que el valor esperado de un estadístico es 4, esto significaría que al tomar una muestra: No creemos que el valor de la estadística vaya a ser 4, pero tampoco creemos que el valor de la estadística vaya a estar lejos de 4.

Ya que es muy probable que el valor del estimador esté cerca de su valor esperado, una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con el del parámetro que se pretende estimar. Al menos, quisiéramos que el valor esperado no difiera mucho del parámetro estimado. Por esa razón es importante la cantidad que, técnicamente llamamos sesgo.

Convención, para efectos del estudio de ahora en adelante se presentan la siguiente convención, representan, el parámetro que estamos midiendo y el valor obtenido en la medida o muestreado, respectivamente

El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro que estima. ,

Si el sesgo 0, se dice que el estimador es insesgado y ésta es una característica buena para un estimador. Un estimador que es insesgado tiene una alta probabilidad de tomar un valor cercano al valor del parámetro.

Varianza de un estimador. Otra propiedad importante de un estimador es su varianza. La importancia de la desviación estándar es que nos permite darle un sentido numérico a la cercanía del valor del estimador a su valor esperado. Entre menor sea la desviación estándar de un estimador, será más probable que su valor en una muestra específica se encuentre mas cerca del valor esperado.

Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambos son insesgados y suponga que la varianza de T1 es menor que la de T2, lo cual quiere decir que los valores de T1 son más probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 más cerca del valor del parámetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estén con T1.

Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador es más eficiente.

La distribución de probabilidad de un estadístico. Quizá el resultado más importante para la estadística es el Teorema del Límite Central. Este resultado nos indica que, para el estadístico promedio de la muestra

- el valor esperado es la media de la población.

- la varianza es igual a la de la población dividida por el número de elementos de la muestra.

- la distribución de probabilidad es la normal.

Este teorema es muy importante porque permite calcular probabilidades acerca de dónde se encuentra el valor promedio muestra. Es sólo cuestión de usar la tabla normal teniendo cuidado al estandarizar de usar la desviación estándar adecuada que es la de la población dividida por la raíz cuadrada del número de elementos de la muestra.

Estimación del error de una medida directa. La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables.

Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor. Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).

Mejor valor de un conjunto de medidas. Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas serán en general diferentes. El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente, y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.

Tipos de estimación estadística. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros de la población, brevemente parámetros (tales como la media y la variación de la población), de los correspondientes estadísticos muéstrales, o simplemente estadísticos (tales como la media y la variación de la muestra).

Estimaciones sin sesgo. Si la media de las dispersiones de muestreo con un estadístico es igual que la del correspondiente parámetro de la población, el estadístico se llamara estimador sin sesgo o insesgado del parámetro; si no, si no se llama estimador sesgado. Los correspondientes valores de tal estadístico se llaman estimación sin sesgo, y estimación con sesgo respectivamente.

Ejemplo, la media de las distribuciones de muestreo de medias o , media de la población. Por lo tanto, la media muestral es una estimación sin sesgo de la media de la población.

Ejemplo, las medias de las distribuciones de muestreo de las variables son

En donde, sea una estimación sin sesgo, sin embargo, s es una estimación sesgada, pues, en términos del valor esperado es insesgado

Estimación Eficiente. Si las distribuciones de muestreo de dos estadísticos tienen la misma media (o esperanza), el de menor varianza se llama un estimador eficiente de la media, mientras que el otro se llama un estimador ineficiente, respectivamente. Si consideramos todos los posibles estadísticos cuyas distribuciones de muestreo tiene la misma media, aquel de varianza mínima se llama a veces, el estimador de máxima eficiencia, ósea el mejor estimador.

Ejemplo, Las distribuciones de muestreo de media y mediana tienen ambas la misma media, a saber, la media de la población. Sin embargo, la varianza de la distribución de muestreo de medias es menor que la varianza de la distribución de muestreo de medianas. Por tanto, la media muestral da una estimación eficiente de la media de la población, mientras la mediana de la muestra da una estimación ineficiente de ella.

De todos los estadísticos que estiman la media de la población, la media muestral proporciona la mejor (la más eficiente) estimación. En la práctica, estimaciones ineficientes se usan con frecuencia a causa de la relativa sencillez con que se obtienen algunas de ellas. Estimaciones de punto y estimaciones de intervalo, su fiabilidad, una estimación de un parámetro de la población dada por un solo número se llama una estimación de punto del parámetro. Una estimación de un parámetro de la población dada por dos puntos, entre los cuales se pueden considerar encajado al parámetro, se llama una estimación del intervalo del parámetro. Las estimaciones de intervalo que indican la precisión de una estimación y son por tanto preferibles a las estimaciones de punto

La Inferencia Estadística comprende los métodos que son usados para sacar conclusiones de la población en base a una muestra tomada de ella. Incluye los métodos de estimación de parámetros y las pruebas de hipótesis.

La Estimación de parámetros comprende a su vez la Estimación Puntual, en donde se estudian los diversos métodos de encontrar estimadores y las propiedades óptimas que deben tener éstos, y la Estimación por Intervalos de Confianza, en donde se estima un parámetro usando un intervalo centrado en un estimado del parámetro y de longitud igual a dos veces el error de estimación. El Error de estimación depende del nivel de confianza deseado, usualmente, 90, 95 ó 99 por ciento.

En este texto solamente se tratará el cálculo de intervalos de confianza. Los diversos métodos de encontrar estimadores y, las propiedades de estimadores óptimos son discutidos en un curso de Estadística Matemática.

Una Hipótesis Estadística

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