Números Complejos

Números Complejos

Unidad imaginaria:Se llama así al número y se designa por la letra i.

Números imaginarios:Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número real,e i es la unidad imaginaria.Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 = (i4)5 • i2 = − 1

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones con números complejos en la forma binómica

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) • (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

(5 + 2i) • (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

Números complejos en forma polar

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar. z = rα

Números complejos en forma trigonométrica.

A partir de la forma polar es muy fácil pasar a una nueva forma denominada trigonométrica.

a + bi = rα = r (cos α + i sen α)

Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonométrica:

z = 260º = 2(cos 60º + i sen 60º)

z = 2120º

=2(cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º

=2(cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

=2(cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

=2(cos 0º + i sen 0º) z = −2

z = 2180º

=2(cos 180º + i sen 180º)

z = 2i

z = 290º

=2(cos 90º + i sen 90º) z = −2i

z = 2270º

=2(cos 270º + i sen 270º)

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