Números Complejos

Números complejos.

Definición.

Un número complejo tiene la forma a + bi donde a y b son números reales e i es llamada la unidad imaginaria y se define mediante las siguientes relaciones.

i =√(-1)

i^2 = -1

Nota: Todos los números reales son números complejos, ya que se pueden escribir de la forma a + 0i. Si a=0, entonces 0 + bi=bi es llamado número imaginario. Al conjunto de todos los números complejos se le denota ₵.

₵={a+bi:a ϵ R y b ϵ R}

Forma general: a + bi

Ejemplo: Complete la tabla.

Número complejo. Parte real a. Parte imaginaria b.

3 + 4i 3 4

-2i - 1 -1 -2

3i 0 3

21 21 0

Operaciones que se realizan en números complejos.

Para sumar, restar y multiplicar números complejos se asume que la i es una variable y se aplican los mismos procesos que se utilizan para sumar, restar y multiplicar expresiones algebraicas.

Suma con números complejos.

Ejemplo 1: (1 + 4i) + (-5 + 11i) = 1 + 4i -5 + 11i = -4 + 15i.

Restar con números complejos.

Ejemplo 2: (-5 + i) - (10 + 7i) = -5 + i – 10 7i = -15 + 8i

Propiedades: (a + bi) + (c + di)= (a + c) + (b + d) i

(a + bi) - (c + di)= (a - c) - (b - d) i

Ejemplo 3: ( 1/2 + i) + (3/2 – 2i)= ( 1/2 + 3/2) + (1 + -2) i

= 2 + -i = 2 – i.

Multiplicación con números complejos.

Ejemplo1: (2 + i) (5 – 3i)

= 10 – 6i + 5i – 3i^2 i^2= -1

= 10 – i – 3(-1)

= 10 – i + 3

= 13 - i.

Calcular potencias de i.

Ejemplos: Simplifique

i^22= (i^2 )11

= (-1)11

= -1

i^12 = (i^2 ) 6 = (-1)6 = 1

i^33 = i^32 * i

= (-1)16i

= (1) i

= i

Nota: i^n donde n es un entero positivo siempre simplifica a uno de los siguientes números: 1, -1, i, -i.

n par. n es impar.

(a + bi) + (c + di)= (a + bi) c + (a + bi) di

= ac + bci + adi +bdi^2 i^2 = -1

= ac + bci + adi - bd

= (ac – bd) + (bc + ad) i

Ejemplo 1: (3 – 4i) (3 + 4i) – i (10 + 7i)

(A-B)(A+B)

A*A - B*B= A^2 - B^2

= 9 + 16i^2 – 10i - 7i^2

=9 + 16 – 10i – 7

= 32 - 10i.

Si t > 0, entonces √(-t) = √t i

√(-4) = √(4 )i = 2i

√(-25) =√25i = 5i

√(-8) = √8i = √((4)(2))i = √4 * √2i = 2√2 i

División de números complejos.

Conjugado de un numero complejo a + bi es a- bi.

NÚMERO CONJUGADO

2 - i 2 + i

-3i + 4 = 4 – 3i 4 + 3i

-3i = 0 -3i 0 + 3i= 3i

√2=√2 + 0i √2 - 0i=√2

1⁄2 + 8⁄7 i 1⁄2 - 8⁄7 i

Nota: Para dividir números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

(a+bi)/(c+di) =(a+bi)/(c+di) * (c-di)/(c-di)

=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))=((a+bi)(c-di))/(c^2-d^(2 i^2 ) )

= (A+B) (A-B)= A * A – B * B= A^2 - B^2

= ((a+bi)(c-di))/(c^2+ d^2 )

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