Números Complejos

Números complejos.

Definición.

Un número complejo tiene la forma a + bi donde a y b son números reales e i es llamada la unidad imaginaria y se define mediante las siguientes relaciones.

i =√(-1)

i^2 = -1

Nota: Todos los números reales son números complejos, ya que se pueden escribir de la forma a + 0i. Si a=0, entonces 0 + bi=bi es llamado número imaginario. Al conjunto de todos los números complejos se le denota ₵.

₵={a+bi:a ϵ R y b ϵ R}

Forma general: a + bi

Ejemplo: Complete la tabla.

Número complejo. Parte real a. Parte imaginaria b.

3 + 4i 3 4

-2i - 1 -1 -2

3i 0 3

21 21 0

Operaciones que se realizan en números complejos.

Para sumar, restar y multiplicar números complejos se asume que la i es una variable y se aplican los mismos procesos que se utilizan para sumar, restar y multiplicar expresiones algebraicas.

Suma con números complejos.

Ejemplo 1: (1 + 4i) + (-5 + 11i) = 1 + 4i -5 + 11i = -4 + 15i.

Restar con números complejos.

Ejemplo 2: (-5 + i) - (10 + 7i) = -5 + i – 10 7i = -15 + 8i

Propiedades: (a + bi) + (c + di)= (a + c) + (b + d) i

(a + bi) - (c + di)= (a - c) - (b - d) i

Ejemplo 3: ( 1/2 + i) + (3/2 – 2i)= ( 1/2 + 3/2) + (1 + -2) i

= 2 + -i = 2 – i.

Multiplicación con números complejos.

Ejemplo1: (2 + i) (5 – 3i)

= 10 – 6i + 5i – 3i^2 i^2= -1

= 10 – i – 3(-1)

= 10 – i + 3

= 13 - i.

Calcular potencias de i.

Ejemplos: Simplifique

i^22= (i^2 )11

= (-1)11

= -1

i^12

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