NUMEROS RACIONALES

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Q= { m/n , m Z, n Z, n =0 }

Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:

Clasificación de los Números Racionales

Dentro del conjunto de los Números Racionales podemos encontrarnos con:

!Números Racionales Positivos: son aquellos que están representados por fracciones positivas. El conjunto de numero racionales positivos se designa con Q+

+a a Q+ - a b a Q+

+b b - b b

!Números Racionales Negativos: son aquellos que están representados por fracciones negativas. El conjunto de números racionales negativos se designa con Q-

- a a Q- - a b a Q-

b b - b b

* El racional 0 está formado por todas las fracciones que tienen el numerador 0

ø 0 , 0 ø

2

* En el conjunto de los números racionales siempre podemos intercalar otro racional, esto se llama Densidad en Q. Para intercalar racionales usamos un método practico:

1.- se ordenan de mayor a mayor.

2.- se suman los numeradores y denominadores entre sí.

La fracción obtenida está entre las fracciones dadas, el proceso puede continuar infinitamente. Entre dos números racionales podemos intercalar un numero infinito de racionales, entonces se puede decir que el conjunto Q es un conjunto denso.

Entre 1 a " 1 a

4

1 a < 1 a

5 4

1 + 1

5 + 4

! Adición de Números Racionales: para sumar racionales de igual denominador se conserva el denominador común y se suman los numeradores.

Ejemplo:

3 1 4 a

8 8 8

" a , c " Q , d " 0 a c a + c

a d d d d d

Para sumar racionales de distinto denominador, se calcula el Mínimo Común Múltiplo entre los denominadores y se amplifica cada fracción para obtener otra equivalente y con denominador igual al Mínimo Común Múltiplo encontrado. Luego se calcula la suma de las fracciones con denominador común.

" a , c " Q b " 0 , d " 0

b d

a c MCM (b,d) = bd ad cd ad + cd

b d bd bd bd

% Propiedades de la Adición de Números Racionales

-Clausura: la adición es una ley de composición interna en Q pues al sumar dos racionales, la suma siempre es un numero racional.

" a " c " Q b " d " 0 a c " Q

b d b d

Ejemplo : 3 " -2 " Q , 3 -2 9 - 8 1 " Q

4 3 4 3 12 12

-Asociatividad: si para sumar números racionales se agrupan usando paréntesis, sin cambiar el orden, la suma no se altera.

" a , c " e " Q b , d " f " 0

b d f

a c e = a c e q

b d f b d f

-Elemento neutro: para los números racionales, el elemento neutro de la adición es el cero. Si usamos cero a cualquier racional, la suma será igual al racional considerado.

" a " Q , "! 0 " Q a + 0 0 + a . a .

b b b b

-Elemento inverso aditivo: todo numero racional , distinto de cero tiene un inverso aditivo - , tal que sumados dan el elemento neutro cero.

" a " Q , a " 0 "! - a a - a -a a 0

b b b b b b b

-Conmutatividad: si para sumar dos racionales, cambiamos el orden de los sumados, la suma no se altera.

" a " c " Q b , d " 0

b d

a c a c q

b d b d

!Numero Mixto: se llama numero mixto a la suma de un numero entero y un racional. En el numero mixto esta sobreentendido el signo de la suma, razón por la cual se prescinde de él. Ejemplo:

3 es un numero mixto que indica 3 +

Si se desea expresar el numero mixto como racional, bastara con efectuar la suma indicada. Y si un numero racional (con numerador mayor que el denominador) se quiere expresar como numero mixto, bastara con dividir el numerador por el denominador.

!Sustracción de racionales: la diferencia entre los dos números racionales se obtiene sumando al primer termino (minuendo) en inverso aditivo del segundo termino (sustraendo).

" a " c " Q b " d " 0

b d

a c a -c .

b d b d

Multiplicación de números racionales: para calcular el producto de dos números racionales, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

" a " c " Q b " d " 0

b d

a c a • c .

b d b • d

% Propiedades de la Multiplicación de Números Racionales

-Clausura: la multiplicación es una ley de composición interna en Q, pues al multiplicar dos racionales, el producto siempre es un número racional.

" a " c " Q b " d " 0 a c " Q

b d b d

-Asociatividad: si para multiplicar racionales, se agrupan en paréntesis sin cambiar el orden, el producto no se altera.

" a , c " e " Q b , d " f " 0

b d f

a c e = a c e q

b d f b d f

Elemento neutro multiplicativo: para los números racionales el elemento neutro de la multiplicación es el racional +1.

" a " Q , "! +1 " Q a • +1 +1 • a . a .

b b b b

-Elemento inverso multiplicativo: todo número racional " 0 tiene un inverso , tal que multiplicados entre si el producto es +1.

" c " Q , "! d , c " d " 0 c d d c 0

d c d c c d

-Conmutatividad: si para multiplicar dos números racionales cambiamos el orden de los factores, el producto no se altera.

" a " c " Q b , d " 0

b d

a c a c q

b d b d

-Propiedad multiplicativa o absorbente del cero: todo número racional multiplicado por el racional cero da como producto cero.

" a " Q , b " 0 a • 0 0 • a . 0.

b b b

-Distribuidad de la multiplicación respecto a la adición: el producto de un racional por una adición de racionales no se altera si multiplicamos el racional por el resultado de la adición o si multiplicamos independientemente el racional por cada sumando y luego sumamos los productos obtenidos.

" a , c " e " Q b , d " f " 0

b d f

a c e = a c e q

b d f b d f

!División de números racionales: para dividir dos números racionales, multiplicamos el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. El divisor debe ser distinto a cero.

" a " c " Q b , c " d " 0

b d

a c a d a • d

b d b c b • c

divisor

dividendo cuociente

!Potencia de un número racional: para hallar la potencia de un número racional se elevan a dicha potencia los dos términos de la fracción. Ejemplo:

5 3 53 125

2 23 8

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NUMEROS RACIONALES

Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo:

7/2 = 3.5

Sustracción de racionales: la diferencia entre los dos números racionales se obtiene sumando al primer termino (minuendo) en inverso aditivo del segundo termino (sustraendo)

1-. Conjuntos de los números racionales Q

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. (Ver: Fracciones)

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica

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