Numeros Triangulares

Los números Triangulares y los números cuadrados son números que se representan gráficamente. En los números Triangulares los números se llaman niveles y cada nivel tiene un número determinado de puntos. La representación de cada nivel se pone con triángulos conformado por puntos, cada triangulo es equilátero. En los números cuadrados al igual que en los números triangulares se le llaman niveles a cada número, la diferencia es que en estos números las representaciones son cuadrados conformados por puntos.

Con esta exploración lo que intentaremos es llegar a 2 formulas, una para los números triangulares y otra para los números cuadrados. Con cada formula el objetivo es lograr llegar a saber la cantidad de puntos que tiene cada figura. ¿Cómo vamos a llegar a estas fórmulas? El método que se usara para llegar a las diferentes fórmulas va a ser buscar diferentes patrones, estos patrones pueden estar en los niveles o el número de puntos por nivel. Para ambas fórmulas partiremos de un mismo punto, este es la observación, con la observación vamos a poder encontrar primero, el número de puntos por nivel y segundo, podremos graficar las figuras para ver si con esta información encontraremos los patrones que estamos buscando.

Primero que todo vamos a intentar hallar la fórmula que nos dirá el número de puntos por nivel en los números triangulares. Para encontrar la fórmula partiremos de dos cosas que como anteriormente dije parten de la observación, estos son, las figuras que podemos graficar y el número de puntos por nivel esta información la pondremos en una tabla (solo usaremos los 5 primeros niveles). Cuando tengamos esta información intentaremos de distintas maneras hallar la formula.

Luego de tener la fórmula de los números triangulares lo que intentaremos hallar será la fórmula de los números cuadrados. Al igual que en los números triangulares buscaremos patrones, tendremos información gráfica y una tabla con los primeros 5 niveles y finalmente con esta información que tenemos ya intentaremos hallar la formula.

Una hipótesis que se plantea es que una vez lleguemos a una formula podremos llegar a la otra con mayor facilidad ya que como los numero triangulares y cuadrados hacen parte de los números estelares de alguna forma deben estar relacionados, así que tal vez una formula nos sirva para hallar la otra.

Una vez que ya hemos introducido el tema ahora si empecemos a probar y así llegar a las formulas.

Primero intentaremos llegar a la fórmula de los números triangulares. La información con la que contamos es de la tabla 1 y de información gráfica como lo son los triángulos que se verán a continuación.

A continuación se representaran gráficamente como se ve cada nivel con su cantidad de puntos.

Nivel 1: Nivel 2: Nivel 3:

Nivel 4: Nivel 5:

En la tabla 1 se representan los niveles que se veían anteriormente:

Tabla 1

Nivel número de puntos

1 1

2 3

3 6

4 10

5 15

Lo primero que se intentara hacer para hallar la fórmula es relacionar el número de puntos de cada nivel con el área de cada triangulo. Recordando que la fórmula del área de un triángulo es (b∙a)/2 donde B es igual a la base y A es igual a la altura del triángulo. Como en las representaciones graficas se puede ver una cuadricula vamos a pensar que cada lado de la cuadricula mide 1cm.

Entonces para hallar el área de un triángulo vamos a sacarle una altura al triángulo que usemos (recordemos que los triángulos son equiláteros y que una altura produce dos triángulos rectángulos). Al sacar la altura nos quedaran dos triángulos rectángulos congruentes.

En este caso usaremos el nivel 5 que contiene 15 puntos, nombraremos un triángulo como ABC, a este triángulo le nombraremos una altura AW y al hacer esto nos quedaran 2 triángulos, AWB y AWC, ambos triángulos rectángulos.

En el ejemplo sabemos que la base del triángulo AWB =4cm y también sabemos que la altura del triángulo =4cm , al usar la fórmula del área de un triángulo nos queda que (4∙4)/2=8〖cm〗^2. Como son 2 triángulos congruentes se multiplica el resultado por 2 para encontrar el área total de la figura y así finalmente probar si nuestra teoría de que el área está relacionada con el número de puntos por nivel es cierta o no. Entonces 8∙2=16〖cm〗^2, como área total del triángulo ABC=16〖cm〗^2 se puede decir que nuestra teoría de que si sacamos el área del triángulo nos diría el número de puntos por niveles incorrecta ya que nos debería dar 15 el cual equivale al número de puntos del nivel 5.

Siguiendo con el proceso a encontrar la fórmula para saber la cantidad de puntos por nivel en los números triangulares vamos a retomar la tabla 1 que se representó en la página anterior.

Nivel Numero de puntos suma para hallar los puntos

1 1 1=1

2 3 1+2=3

3 6 1+2+3=6

4 10 1+2+3+4=10

5 15 1+2+3+4+5=15

Después de analizar esta tabla podemos observar que se dan varias cosas, como por ejemplo:

Nivel 1: 1 punto Nivel 2: 1+2=3 puntos Nivel 3: 1+2+3=6 puntos

Nivel 4: 1+2+3+4=10 puntos Nivel 5: 1+2+3+4+5=15 puntos

De lo anterior podemos deducir que el número de puntos por cada nivel es una suma de todos los niveles anteriores más el nivel al que le buscamos el número de puntos. De lo anterior se puede plantear que:

NUMERO DE PUNTOS=1+2+3+...+N

Donde N = representa el nivel al que le buscamos el número de puntos que tiene.

∙ Para resolver la anterior suma pueden haber varios métodos, uno puede ser escoger

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