PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS ENTEROS

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS ENTEROS

AXIOMAS ALGEBRAICOS:

AXIOMA 1: Operaciones. Existe la suma y el producto, la suma de a+b es siempre un entero (único) y el producto de a.b es siempre un entero (único).

AXIOMA 2: Existencia de elementos neutros. Existe un entero 0 y otro 1, tales que:

a+0 = a a.1 = a

AXIOMA 3: Propiedad conmutativa de la suma y del producto:

a+b = b+a a.b = b.a

AXIOMA 4: Propiedad asociativa de la suma y del producto:

a+(b+c) = (a+b)+c a.(b.c) = (a.b).c

AXIOMA 5: Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

a.(b+c) = ab+ac

AXIOMA 6: Existencia del opuesto. Para cada entero A existe el opuesto de A:

A+(-A) = 0

AXIOMA 7: Simplificación en el producto:

Si c ≠ 0 y c.a = c.b, entonces a = b

AXIOMAS DE ORDEN:

AXIOMA 8: Existe un subconjunto de enteros (Z ), sus elementos se llaman positivos, tal que:

• La suma de dos enteros positivos es un positivo.

• El producto de dos enteros positivos es un positivo.

AXIOMA 9: Para todo entero A, se cumple una y solo una de las siguientes:

• A es positivo

• A = 0

• -A es positivo

AXIOMA DE INDUCCION COMPLETA:

AXIOMA 10: Si un conjunto A de enteros positivos cumple con las siguientes propiedades:

Entonces

Este axioma es el que se usa en las llamadas demostraciones por inducción.

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