Paralelogramos, Horizontales Paralelas y Transversales Paralelas

Paralelogramos,  Horizontales Paralelas y Transversales Paralelas

El siguiente documento tiene como propósito analizar el número de paralelogramos que son formados cuando n número de paralelas horizontales son cortadas por un número m de transversales. El anterior objetivo se propone cumplir hallando una  fórmula que relacione estas dos variables (número n de paralelas, con un número m de transversales) para hallar un numero p de paralelogramos.

Para brindar una estructura pertinente a la solución de este problema estableceremos un orden en la elaboración del documento.

1. Hallar la formula  al aumentar m transversales paralelas.
2. Hallar la formula al aumentar n rectas horizontales paralelas.
3. Hallar la formulacuando se aumentan el número m de transversales y numero n de rectas  horizontales independientemente.[pic 1]

 Es pertinente antes de comenzar definir ciertos conceptos claves para la mejor comprensión del documento, en este punto se definirán los conceptos básicos de paralelas, transversales y paralelogramos. Conforme se avance en el documento se introducirán nuevos conceptos que serán útiles para la comprensión en la etapa de la exploración de la que se esté hablando.

Paralelas: las rectas son paralelas entre sí, si la distancia entre ella es siempre la misma y nunca se intersecan entre sí.

Paralelogramo: es una figura geométrica cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud, y los ángulos opuestos son iguales

Transversal: Una línea transversal es aquella que tiene la particularidad de atravesar, al menos, otras 2 líneas. En otras palabras: una línea es transversal cuando se logra una intersección con otras dos líneas cualesquiera, en un par de puntos diferentes.

1. Formula  al aumentar m transversales paralelas

A continuación analizaremos el número  p de paralelogramos que son formados al ir aumentando un número m de transversales paralelas que intersequen dos rectas horizontales paralelas.

[pic 2]  Grafica 1

Como se ve en la gráfica 1 al trazar una transversal no es formado ningun paralelogramo. Podemos escribir esto como: cuando m=1, p=0

[pic 3]Grafica 2

En la gráfica 2 se trazan dos transversales paralelas formando un paralelogramo:

1. .[pic 4]

 Entonces podemos decir que cuando m=2, p=1.

[pic 5]Grafica 3

En la gráfica 3 se trazan 3 trasversales paralelas formando 3 paralelogramos:

1. [pic 6]
2. [pic 7]
3. [pic 8]

Entonces podemos escribir que cuando m=3, p=3

[pic 9]Grafica 4

En la gráfica 4 se trazan 4 transversales paralelas formando 6 paralelogramos:

1. [pic 10]
2. [pic 11]
3. [pic 12]
4. [pic 13]
5. [pic 14]
6. [pic 15]

Entonces podemos decir que cuando m=4, p=6.

[pic 16]Grafica 5

En la gráfica 5 se trazan 5 transversales paralelas formando 10 paralelogramos:

1. [pic 17]
2. [pic 18]
3. [pic 19]
4. [pic 20]
5. [pic 21]
6. [pic 22]
7. [pic 23]
8. [pic 24]
9. [pic 25]
10. [pic 26]

Entonces podemos decir que cuando n=5, p=10

[pic 27]Grafica 6

En la grafica 6 se trazan 6 transversles paralelas formando 15 paralelogramos:

1. [pic 28]
2. [pic 29]
3. [pic 30]
4. [pic 31]
5. [pic 32]
6. [pic 33]
7. [pic 34]
8. [pic 35]
9. [pic 36]
10. [pic 37]
11. [pic 38]
12. [pic 39]
13. [pic 40]
14. [pic 41]
15. [pic 42]

Por esto podemos decir que cuando m=6, p=15

Con la información que se ha obtenido es pertinente elaborar una tabla de datos en los que se relacione  el numero m de transversales y  el numero p de paralelogramos formados para poder establecer alguna relación algebraica  entre estas dos variables.

Tabla 1

Si se analiza la tabla se puede ver que el valor en la columna p esta dado por la suma entre los terminos de las columnas p y m de la fila anterior. Por ejemplo en la fila 5 donde m=5 p=10,  si se observa la fila superior a esta los valores de m=4 y p=6 suman el valor de  p en la fila siguiente a esta.

[pic 43]

 Con este metodo es posible encontrar el numero de paralelogramos dado un numero m  de transversales pero resulta ineficiente debido a que se requiere el numero de paralelogramos formados en el valor anterior a m, es decir que para encontrar el numero p de paralelogramos se tendrian que encontrar todos los paralelogramos formados con todos los valores anteriores al valor de m .

Viendo de nuevo la Tabla 1 si nos fijamos los valores de la columna p estan dados por la suma de los numeros hasta m sin incluirlo. En la siguiente tabla se muestra lo dicho anteriormente.

Tabla 2

De esta manera sabiedo que los valores de  p  estan dados por la suma de los numeros hasta m sin incluirlo, podemos usar la formula planteada por Gauss para hallar los valores de p cambiando que el resultado final se le restaria el valor de m.  Durante el resto del documento llamaremos  a esta formula la formula de Gauss.

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