Paralelogramos, Horizontales Paralelas y Transversales Paralelas

Paralelogramos,  Horizontales Paralelas y Transversales Paralelas

El siguiente documento tiene como propósito analizar el número de paralelogramos que son formados cuando n número de paralelas horizontales son cortadas por un número m de transversales. El anterior objetivo se propone cumplir hallando una  fórmula que relacione estas dos variables (número n de paralelas, con un número m de transversales) para hallar un numero p de paralelogramos.

Para brindar una estructura pertinente a la solución de este problema estableceremos un orden en la elaboración del documento.

1. Hallar la formula  al aumentar m transversales paralelas.
2. Hallar la formula al aumentar n rectas horizontales paralelas.
3. Hallar la formulacuando se aumentan el número m de transversales y numero n de rectas  horizontales independientemente.[pic 1]

 Es pertinente antes de comenzar definir ciertos conceptos claves para la mejor comprensión del documento, en este punto se definirán los conceptos básicos de paralelas, transversales y paralelogramos. Conforme se avance en el documento se introducirán nuevos conceptos que serán útiles para la comprensión en la etapa de la exploración de la que se esté hablando.

Paralelas: las rectas son paralelas entre sí, si la distancia entre ella es siempre la misma y nunca se intersecan entre sí.

Paralelogramo: es una figura geométrica cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud, y los ángulos opuestos son iguales

Transversal: Una línea transversal es aquella que tiene la particularidad de atravesar, al menos, otras 2 líneas. En otras palabras: una línea es transversal cuando se logra una intersección con otras dos líneas cualesquiera, en un par de puntos diferentes.

1. Formula  al aumentar m transversales paralelas

A continuación analizaremos el número  p de paralelogramos que son formados al ir aumentando un número m de transversales paralelas que intersequen dos rectas horizontales paralelas.

[pic 2]  Grafica 1

Como se ve en la gráfica 1 al trazar una transversal no es formado ningun paralelogramo. Podemos escribir esto como: cuando m=1, p=0

[pic 3]Grafica 2

En la gráfica 2 se trazan dos transversales paralelas formando un paralelogramo:

1. .[pic 4]

 Entonces podemos decir que cuando m=2, p=1.

[pic 5]Grafica 3

En la gráfica 3 se trazan 3 trasversales paralelas formando 3 paralelogramos:

1. [pic 6]
2. [pic 7]
3. [pic 8]

Entonces podemos escribir que cuando m=3, p=3

[pic 9]Grafica 4

En la gráfica 4 se trazan 4 transversales paralelas formando 6 paralelogramos:

1. [pic 10]
2. [pic 11]
3. [pic 12]
4. [pic 13]
5. [pic 14]
6. [pic 15]

Entonces podemos decir que cuando m=4, p=6.

[pic 16]Grafica 5

En la gráfica 5 se trazan 5 transversales paralelas formando 10 paralelogramos:

1. [pic 17]
2. [pic 18]
3. [pic 19]
4. [pic 20]
5. [pic 21]
6. [pic 22]
7. [pic 23]
8. [pic 24]
9. [pic 25]
10. [pic 26]

Entonces podemos decir que cuando n=5, p=10

[pic 27]Grafica 6

En la grafica 6 se trazan 6 transversles paralelas formando 15 paralelogramos:

1. [pic 28]
2. [pic 29]
3. [pic 30]
4. [pic 31]
5. [pic 32]
6. [pic 33]
7. [pic 34]
8. [pic 35]
9. [pic 36]
10. [pic 37]
11. [pic 38]
12. [pic 39]
13. [pic 40]
14. [pic 41]
15. [pic 42]

Por esto podemos decir que cuando m=6, p=15

Con la información que se ha obtenido es pertinente elaborar una tabla de datos en los que se relacione  el numero m de transversales y  el numero p de paralelogramos formados para poder establecer alguna relación algebraica  entre estas dos variables.

Tabla 1

Si se analiza la tabla se puede ver que el valor en la columna p esta dado por la suma entre los terminos de las columnas p y m de la fila anterior. Por ejemplo en la fila 5 donde m=5 p=10,  si se observa la fila superior a esta los valores de m=4 y p=6 suman el valor de  p en la fila siguiente a esta.

[pic 43]

 Con este metodo es posible encontrar el numero de paralelogramos dado un numero m  de transversales pero resulta ineficiente debido a que se requiere el numero de paralelogramos formados en el valor anterior a m, es decir que para encontrar el numero p de paralelogramos se tendrian que encontrar todos los paralelogramos formados con todos los valores anteriores al valor de m .

Viendo de nuevo la Tabla 1 si nos fijamos los valores de la columna p estan dados por la suma de los numeros hasta m sin incluirlo. En la siguiente tabla se muestra lo dicho anteriormente.

Tabla 2

De esta manera sabiedo que los valores de  p  estan dados por la suma de los numeros hasta m sin incluirlo, podemos usar la formula planteada por Gauss para hallar los valores de p cambiando que el resultado final se le restaria el valor de m.  Durante el resto del documento llamaremos  a esta formula la formula de Gauss.

[pic 44]

Formula de Gauss

La formula de Gauss es util para hallar la sumatoria de los numeros de un numero n. Por ejemplo si se desea hallar la suma de los numeros de 1 hasta 100, en vez de realizar la operación:

[pic 45]

Solo nesecitamos remplazar 100 por en n en la formula:

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Como se dijo anterior mente la formula de Gauss por si sola no cumple con la tarea que se nesecita en este momento pues el valor de p esta dado por la sumatoria de los numeros de m sin incluirlo es por esto que es necesario efectuar un modificacion en la ecuacion que consite en restar el valor de m en la ecuacion.

[pic 50]

Podemos despues simplificarla

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Por lo tanto la formula para hallar el numero  p de paralelogramos formados dado un numero m de transversles es:[pic 56][pic 57]

1. Formula al aumentar n rectas horizontales paralelas.

Ya obtenida la formula de cuando se aumentan m transversales sobre dos rectas paralelas horizontales procederemos a encontrar la formula  de cuando se aumentan n  rectas horizontales sobre dos rectas transversales paralelas cuantos paralelogramos son formados.

[pic 58]Grafica 7

En la grafica 7 se ve que al trazar una recta horizontal n no es formado ningun paralelogramo p, esto se puede escribir como: cuando n=1, p=0

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