Polinomios Binomios Y Trinomios

RESUMEN DE MONOMIOS, BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS.

MONOMIOS

Una variable es un símbolo utilizado para representar cualquier elemento de un conjunto específico, es decir, es un símbolo que puede tomar distintos valores, de ahí que las variables, simbolizadas por medio de literales, como a, b, c, d,… y, z, representen números reales.

Las expresiones algebraicas como estas: 7χ²-3xy+15 (2x+y) ₂ pueden estar constituidas por un solo termino o por varios de estos. Las expresiones que tienen un solo termino se llaman “monomios”.

Un monomio o termino es todo lo que esta antes o después del signo más (+) o menos (-) y puede representar un producto, un cociente, una potencia o una raíz.

GRADO DE UN MONOMIO

El grado absoluto de un monomio es el que resulta de la suma de los exponentes de sus literales.

*Ejemplo: El grado absoluto de 5c² b⁴yᶟ es 9, porque 2+4+3= 9.

El grado de un monomio respecto a cada una de sus literales es igual al exponente que tenga cada literal.

ADICION DE MONOMIOS

Para poder sumar algebraicamente dos términos, es necesario que ambos términos sean semejantes, ya que la suma algebraica de dos o más términos semejantes es igual a otro término similar a dichos términos pero con coeficiente numérico diferente. Para efectuar la suma o adición, dada la naturaleza positiva o negativa de los términos, debe considerarse que:

a) En la suma de dos o más términos semejantes con signos iguales positivos o negativos, el resultado es otro término similar cuyo coeficiente numérico es la suma de los valores absolutos de los coeficientes numéricos originales precedidos del mismo signo.

*Ejemplos: 12ab+ 3ab+ 7ab= 22ab -17xy- 12xy- 2xy= -31xy

b) En la suma de dos o más términos semejantes con diferente signo el resultado es igual a otro término semejante cuyo coeficiente numérico es igual a la diferencia de los coeficientes de los términos originales y cuyo signo es igual al del coeficiente numérico de mayor valor absoluto.

*Ejemplos: 3az- 7az = -4az 11ab²- 16ab² -25ab²+ 42ab² = 53ab²- 41ab²= 12ab²

SUSTRACCION DE MONOMIOS

Para encontrar la diferencia de dos expresiones algebraicas se le suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. El inverso aditivo del sustraendo se obtiene combinando el signo de todos los términos de este. Es importante observar que para la sustracción de monomios se requiere que tanto el minuendo como el sustraendo tengan términos semejantes.

*Ejemplo: (15a) – (8a)= 15a- 8a = 7a Donde 15a es el minuendo y 8a el sustraendo.

MULTIPLICACION DE MONOMIOS

En la multiplicación de dos monomios se aplica la ley de los signos a fin de obtener el signo del producto, por tanto:

a) Cuando se multiplican dos cantidades del mismo signo su producto es positivo.

b) Cuando se multiplican dos cantidades de signo diferente su producto es negativo.

c) Cuando se multiplican tres o más términos de signos diferentes, el producto es positivo si el número de términos negativos es par, y es negativo si el número de términos negativos es impar.

El producto de dos o más términos se obtiene al aplicar el siguiente algoritmo:

1. Se multiplican los signos de acuerdo con la ley de los signos.

2. Se multiplican los valores absolutos de los coeficientes numéricos de cada termino.

3. Se suman los exponentes de las literales de la misma base.

4. Se indican los exponentes de las literales de diferente base, pero se cuida que no exista ningún signo entre ellas; la ausencia de signo indica multiplicación.

*Ejemplo: (3ab) (-5a²c) = - 15aᶟbc

DIVISION DE MONOMIOS

Para dividir un monomio entre otro, se divide el coeficiente numérico del dividendo entre el coeficiente numérico del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético sus literales, colocando a cada una su exponente, que será igual a la diferencia entre el exponente que tenga una literal en el dividendo y el exponente que represente la misma literal en el divisor.

*Ejemplo: 4aᶟb²÷ - 2ab= -2a (3- 1) b(2- 1) = -2a²b

BINOMIOS.

Algunas veces uno o más factores de un término pueden ser factores de un término puedes ser binomios o trinomios entonces se requiere de paréntesis. Ejemplo:

abx+aby

Es así como está la expresión es un binomio ya que consta de dos términos abx y aby si usamos la propiedad distributiva la expresión queda así

(ab)•(x+y)

La expresión entera ahora es un término o un monomio que consta de dos factores “(ab)” y “(x+y)” por el factor “(x+y)” es binomio que se indica por el paréntesis, El paréntesis dice que (x+y) es un numero multiplicado por otro número (ab) y el nombre del numero en el paréntesis es el binomio x+y.

TRINOMIOS.

Los trinomios X 2 +6x+9 y x2-6x+9 Son trinomios cuadrados por que son cuadrados de un trinomio.

Esto nos ayuda a identificar un trinomio cuadrado.

A) Dos de los términos deben ser cuadrados, A2 y B2.

B) No debe haber signo menos en A2 y B2.

C) Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2AB, o su inverso aditivo -2AB.

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2+ 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

Clases de polinomios

Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo

Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

sea F un cuerpo un algabra lineal f es un espacio vectorial A sobre F . EN OTRA OPERACION LLAMADA MULTIPLICACION DE VECTOREs, El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:

P(x) = 2, polinomio de grado cero.

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por los términos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Por ejemplo:

Para poder realizar eficazmente la operación tienes que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto :

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

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