Binomios

En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.

Índice [ocultar]

1 Ejemplos

2 Operaciones sobre binomios

2.1 Factor común

2.2 Suma por diferencia

2.3 Producto de dos binomios lineales

2.4 Potencia de un binomio

2.5 Cuadrado de un binomio

3 Aplicación en el cálculo diferencial

4 Véase también

5 Referencias

6 Enlaces externos

Ejemplos[editar]

a+b

3\tan^2\phi-\frac{b^2}{e^{i\pi \theta}} puede llamarse "binomio de razones trigonométricas".

a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2

Operaciones sobre binomios[editar]

Factor común[editar]

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la adición respecto de la multiplicación:

c (a + b) = c a + c b

o realizando la operación:

\begin{array}{rrr}

& a & +b \\

\times & & c \\

\hline

& ca & +cb

\end{array}

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy

Suma por diferencia[editar]

El binomio a^2 - b^2 puede factorizarse como el producto de dos binomios:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) .

Demostración:

\begin{array}{rrr}

& a & +b \\

\times & a & -b \\

\hline

& -ab & -b^2 \\

a^2 & +ab & \\

\hline

a^2 & & -b^2

\end{array}

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}.

Producto de dos binomios lineales[editar]

El producto de un par de binomios lineales (ax+b) y (cx+d) es:

(ax+b)(cx+d) = acx^2 + axd + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd .

Potencia de un binomio[editar]

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe : (a + b)^n , y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: (p+q)^2

Cuadrado de un binomio[editar]

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

(a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a^2 + 2 a b + b^2 .

La operación se efectúa del siguiente modo:

\begin{array}{rrr}

& a & +b \\

\times & a & +b \\

\hline

& +ab & +b^2 \\

a^2 & +ab & \\

\hline

a^2 & +2ab & +b^2

\end{array}

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma a^2 + 2 a b + b^2, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando

...