Probabilidad Y Estadistica

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE APATZIGAN

PROBABILIDAD Y ESTADISTCA

PRIMER SEMESTRE

INGENERIA CIVIL

“TRABAJO DE INVESTIGACIÓN”

ING. HECTOR IVAN DEDOLLA RIVERA

MARVIN COSSIO MARTINEZ

APATZINGAN MICHOACAN A 31 DE OCTUBRE DEL 2014

INDICE

Variable Aleatoria 1

Función de Densidad 6

VALORES ESPERADOS 8

Momentos 11

Distribuciones discretas 17

DISTRIBUCIONES CONTINUAS 25

BIBLIOGRAFIA 34

Variable Aleatoria

Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico obtenemos una variable aleatoria, que puede ser discreta o continua. Cuando el conjunto numérico es el de los números enteros la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales la variable aleatoria es continua.

Variable Aleatoria Discreta

Si x es una variable aleatoria continua, sólo puede tomar ciertos valores en un intervalo.

V. A. Discreta: Función de Probabilidad

Si x1, x2, x3,..............xn son los valores de x y p1, p2, p3,...........pn las probabilidades de los sucesos correspondientes a los valores dex se llama función de probabilidad o distribución de probabilidades de la variable x al conjunto de los pares (xi, pi)

{(x1, p1), (x2, p2), (x3, p3),.......... (xn, nn)}

Formados por los valores de x y sus probabilidades correspondientes.

Si el conjunto de valores de x tiene n elementos: S pi = 1

Y si es infinito numerable:

La función de probabilidad P(x) de la variable aleatoria x es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi

Ejemplo. Lanzamos al aire una moneda repetidamente, veamos la probabilidad de obtener cara la primera vez, la segunda, etc. y su distribución de probabilidades

xi 1 2 3 ... n

pi 1/2 1/4 1/8 .... 1/2n

Lanzamiento y probabilidad

Distribución de probabilidad

V. A. Discreta: Función de Distribución

En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoria x tome exactamente un determinado valor xi, sino conocer la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

Sea x una variable aleatoria. La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

Esta función se llama función de distribución.

Si xi es creciente con i y suponemos que t está comprendido entre dos de estos valores:

xh-1 < t ≤ xh

la condición: x ≤ t Þ x = x1 ó x = x2 ................x = xh

ß

P (x ≤ t) = P (x1) + P (x2) + .......... + P (xh)

Luego la función de distribución F(t) es la suma de las probabilidades de todos los sucesos x = xi tales que xi ≤ t

Ejemplo. En el ejemplo anterior del lanzamiento de una moneda, la función F(t) toma los siguientes valores:

Para 0 < t ≤ 1 F(t) = 1/2

Para 1 < t ≤ 2 F(t) = 1/2 + !/4 = 3/4 = 1 - 1/22

Para 2 < t ≤ 3 F(t) = 1/2 + !/4 + 1/8 = 7/8 = 1 - 1/23

Para n-1 < t ≤ n F(t) = 1 - 1/2n

Vemos que F(t) es una función escalonada, creciente y si t ® ¥

Lo que hemos visto se puede generalizar al caso en que la función de distribución es una función continua.

Variable Aleatoria Continua

Si x es una variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor en un intervalo.

V. A. Continua: Función de Probabilidad

Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables aleatorias discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución), y podremos analizar cómo cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto denominado densidad de probabilidad).

Ejemplo. Sea x la v.a. que describe la duración de las lámparas de una determinada marca y modelo. Los valores de una variable estadística continua siempre se consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene sentido plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por ejemplo, la probabilidad de que una lámpara dure, exactamente, 265 h). En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí podemos preguntarnos, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que una lámpara dure menos de 265 horas? o ¿cuál es la probabilidad de que una lámpara dure entre 300 y 340 horas?

V. A. Continua: Función de Distribución

Para conocer la probabilidad de que la variable aleatoria x tome valores menores o iguales que un cierto valor xi es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

Esta función se llama función de distribución.

Ejemplo. Sea un disco graduado entre dos valores a y b, a<b, que se hace girar en presencia de una pestaña que permanece inmóvil. Veamos la probabilidad de que al parar el disco la pestaña marque un valor entre a y un valor t, y también la función de distribución correspondiente:

Función de Densidad

Sea la función de distribución F (t) = P (x ≤ t) y supongamos dos números reales a y b, a<b, entonces:

F(a) = P (x ≤ a) y F (b) = P (x ≤ b)

F (b) - F (a) = P (x ≤ b) - P (x ≤ a) = P (a<x≤b)

Se llama densidad media de probabilidad en el intervalo [a, b] a:

En el ejemplo anterior del círculo que gira, la función de densidad es:

Resumen

VALORES ESPERADOS

Valor esperado de una variable

Supongamos que hemos realizado n veces un experimento aleatorio que genera una variable X. El valor medio del experimento en estas n repeticiones es la suma de los productos de los valores de la variable por su frecuencia relativa. Cuando n sea igual a infinito, el valor medio del experimento se llama valor esperado o esperanza matemática, E[X].

Si X es una variable discreta con función d probabilidad f(x), el valor esperado de X se calcula según decíamos anteriormente sumando los productos de los valores de la variable por sus respectivas probabilidades.

En el caso de una variable continua

Propiedades del valor esperado

• Al multiplicar todos los valores de una variable por una misma constante, el valor esperado de ésta queda multiplicado por el valor de la constante.

• Al sumar a todos los valores de una variable una misma constante, el valor esperado de ésta queda incrementado por el valor de la constante.

• Si tenemos dos variables X e Y, discretas o continuas, el valor esperado de su suma o diferencia es la suma o diferencia de sus valores esperados

E[X ± Y] = E[X] ± E[Y]

• Si las variables anteriores, X e Y son variables aleatorias independientes ocurre que el valor esperado de su producto es igual al producto de sus valores esperados.

E[X Y] = E[X] E[Y]

Es importante indicar que la independencia de las variables es condición suficiente pero no necesaria para que el valor esperado del producto de dos variables sea igual al producto de sus valores esperados, es decir, ésta es una propiedad de las variables independientes pero se cumple en variables que no son independientes.

Momentos

Momentos de una variable

Momentos respecto del origen

Dada una variable aleatoria X con función de probabilidad o densidad f(x) podemos definir una función de X que sea igual a la variable elevada a un exponente entero no negativo.

El valor esperado de z(x) es el k-ésimo momento de la variable X respecto a su origen y se llama

• k = 0

• k = 1

a este primer momento respecto al origen que es igual al valor esperado se le llama también media aritmética de la variable y se le denomina μX, simplemente μ.

En la mayoría de los casos, la media μ expresa la tendencia central de la variable o el orden de magnitud de sus valores.

El resto de los momentos respecto al origen tienen escaso interés en la mayoría de los casos.

Momentos respecto

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