Problemas Con Vectores

Problemas de vectores

1) Sean A = axi+ayj+azk y B = bxi+byj+bzk y además A x B = C y A.B # 0

Entonces para que C / A.B = 0 se necesita que:

a) A y B sean paralelos

b) A y B sean antiparalelos

c) A y B sean iguales

d) Todas las opciones anteriores son válidas

2) La cantidad física Φ= E. A representa el flujo eléctrico a través de una superficie. Siendo E vector campo eléctrico y A vector área. Si E= 5i + 2j+5k y A= 2i-2j. Entonces la suma del ángulo que se forma entre ellos, y el ángulo que forma el vector E con el eje y es:

SOLUCION

Para conocer el ángulo entre dos vectores usaremos producto punto.

Así tenemos cos Ω = (E. A) / E A

Cos Ω = (5i + 2j+5k) . (2i-2j) /( 7,35) ( 2,83)

Cos Ω = 6 / 20.80

Cos Ω = 0,288

Ω = 73,26º

Ahora para conocer el ángulo que forma el vector E con el eje de las Y usaremos los cosenos directores.

Cos Y = 2 / 7,35

Cos Y = O, 272

Y = 74,22º

Finalmente sumamos los ángulos obtenidos y tenemos que el valor requerido es de 147,48º

Ley de seno y coseno

3) Un Vector Fuerza forma 105º con un eje como se muestra en la figura. Su magnitud es 10Newtons. Encontrar las componentes Fx´ y Fy´ con los ejes X´ Y´.

Resp: X´ =11.36N

Y´= 34.3N

4) Una partícula experimenta un vector desplazamiento ΔX1 partiendo de (1, 0,2) y llegando al punto (2, 1,2). Por otra parte se tiene otro vector Desplazamiento ΔX2 = (2i+3j+5k)m Encontrar la magnitud del Vector ΔX1 (en m) y además la proyección del vector ΔX2 sobre ΔX1

SOLUCION

Si un vector viene expresado por los puntos que definen el segmento entonces para obtener su magnitud hacemos ΔX1 2 = (2-1)2 + (1)2 + (2-2)2 de donde la magnitud buscada es: 1,41 m

Ahora la proyección de ΔX2 sobre la dirección ΔX1 la obtenemos así:

Proy ΔX2 sobre ΔX1 = (2i+3j+5k). (i+j) / ΔX1 de donde tenemos

Proy = 3,54u. (Respuesta)

Componentes rectangulares

5) El vector equilibrante del sistema de dos fuerzas cuyas magnitudes son iguales a F es:

a) 2 F, 0º

b) 2Fx , 0

c) 2Fx , 180

d) F1 + F2 , 0

e) F1 +2F2 ,180

6) Dado la figura en el plano encuentre la suma de los ángulos directores del vector perpendicular al triángulo

Resp: 164.76º

Vectores Unitarios

7) Dado la figura encontrar El vector C = -1/2A+4B

Resp: C= 20 i – 3.5 j – 21 k

8) Sean A = 5i+2j+2k B =-2i-2j+4k y C = -4i+4j-5k. Entonces la multiplicación ׀AxB׀. C es:

a) 2i+3j-6k

b) -114

c) -18

d) 114

9) Sean A, B y C vectores coplanarios .Señale la opción verdadera

a) A x 2B = C

b) A + B +2C = A xB

c) A – 2B = 0

d) 2A-3B = d (d es un escalar)

10) Sean A = 5i+2j+2k B =-2i-2j+4k y C = -4i+4j-5k. Entonces el ángulo que forma el vector A +B con el vector 2C+B:

Resp: 138.61º

11).-Un expreso estudiantil después de salir de la escuela hace un recorrido de 500m en dirección sur, luego 300m hacia el oeste y por último recorre 125m hacia el suroeste.

Determine el vector resultante Resp. 705m; 56.60 al Sur del Oeste

12).-Un carro se desplaza 450m en una ruta muy despejada al Norte, luego recorre 200m al Este y finalmente 150m al Sur. Se Pide:

Determinar el vector resultante Resp : 360.6 m ; 56.30 al Norte del Este

13).- Un anuncio publicitario tiene un sistema de soporte de dos cuerdas a y b, las cuales soportan un letrero que pesa 980 N como se indica en la figura.

Si

Se pide: usando la ley del seno o coseno

Determinar las tensiones en cada cuerda. Resp Ta= 714.5 N y Tb= 879.3 N

14).-En un muelle se encuentran dos canoas sujetas a cierta distancia del muelle con un mismo punto común de soporte, la fuerza de tensión en las cuerdas de estas canoas son 1500N y 1000N respectivamente.

¿Determine la fuerza resultante que esta ejercida sobre el soporte del muelle FR?

Resp. FR = 2418 N; 180 con respecto a F2

15).-Una carrera de caballos tiene como recorrido 3 tramos como lo indicamos en la figura, definidos como vectores a, b y c. Si la meta coincide con en punto de partida.

Se pide determinar: Resp: a) -3464 m b) 0 c) 7464 m

a) El vector c.

b) El vector resultante.

c) La distancia total recorrida

16).-En la figura se muestra dos vectores V1 y V2, Se pide:

a) Determinar el producto punto entre estos dos vectores

b) Determinar el ángulo Ө entre los dos vectores, usando el producto punto

Resp: a) 89 b) 43.630

17).- Determinar el área rayada entre los dos vectores V1 y V2 dados en el siguiente grafico. Resp. 19.21 u2

18) Dado los vectores V1 y V2 que se muestran en la figura.

a) Determinar un vector perpendicular saliendo del plano formado por los vectores V1 y V2 Resp : -30 j + 35 k

19).-Dado los vectores que se muestran en la figura. Se pide: Determinar el ángulo Ө entre los vectores a y b, usando el método del producto vectorial. Resp. Θ = 19.190

20) Sean los vectores V1 y V2 ortogonales entre ellos. Si V1 = 4i – 3j + 2k y V2 = 3i + αj + 3k

Se pide:

a) Calcular el área del paralelogramo formado por los dos vectores

Resp. 39.57 u2

b) Halle los ángulos directores del vector V2

Resp. α= 65.90 β= 35.260 γ = 65.90

21) Sean los vectores V1 = 8i – 12j + 6k , V2 = -10i + 4j +7 k y V3 tal que :

V1 + V2 + V3 =0

Se pide:

a) Determine V1 – 2 V2 + V3 Resp. 30i – 12j - 21k

22) Dados los vectores:

F1 = 5 N, 0°

F2 = 8 N, 30°

F3 = 10 N, 150°

F4 = 4 N, 270°

F5 = 10 N, 315°

Halle el vector resultante. Resp. 10.54 N , 348.68°

23) La suma de dos vectores V1 y V2 es el vector VR de magnitud 5.15 unidades y un ángulo de 190.3° con respecto al eje positivo de las X, si V1 = 5u, 30°, cuál es el vector V2.

Resp. 10 u, 200°

24) Dos ejes coordenados K y Z forman en su intersección un ángulo de 120°. El vector A tiene una magnitud de 20 unidades y forma un ángulo de 20° con el eje Z positivo. Halle las componentes del vector A sobre los ejes K y Z.

Resp. AK = 7.90 u; AZ = 14.84 u

25) Los vectores A y B se encuentran en el plano X-Y, el vector A = 10u, 30° y el vector B tiene una magnitud de 8u, si la magnitud del vector resultante es de 16.34 u y está en el primer cuadrante, encuentre el ángulo que forma el vector B con el eje positivo de las X.

Resp. 80°

26) Sean los vectores F1 = 8i – 3j + 2k y F2 = 5i + 2j + 3k

a) Utilizando la ley del coseno halle el ángulo entre F1 y F2 Resp. 42.23°

b) Halle los ángulos directores de la resultante

Resp. Α= 21.37° β= 94.11° γ = 69.01°

27) Dados los vectores V1 = 4i – 2j + 8k y V2 = -2i + 5j + k, halle un vector de magnitud 8, en la dirección de 2V1 – 3V2

Resp. D = 4.16i – 5.64j + 3.86k

28) El producto punto de 2 vectores es 16. Si el vector A = 8i + 4j y el vector B= ki, donde k es una constante. Halle el ángulo entre los vectores A y B

Resp. 26.56°

29) Sea el vector A = 3 u, 30° y el vector B que tiene como magnitud 4 u. Si el vector resultante tiene de magnitud 6.35 u. Halle el producto escalar entre A y B.

Resp. 7.71

30) Dados los vectores A = 5i + 2j + 3k y B = -2i + 5j + k, halle un vector de magnitud 10, perpendicular al plano que forma A y B

Resp. C = -3.87i – 3.27j + 8.63k

31) Dados los vectores A = 8i - 3j + 3k y B = -4i - 5j + 2k, encuentre el área del paralelogramo formado por esos

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