Proceso de ramificacion de multitipos y tiempo continuo

Proceso de ramificación de multi-tipos

Sea  una sucesión de vectores aleatorios                      m-dimensionales, independientes, entero valorados, no negativos, definidos sobre el mismo espacio de probabilidad (Ω, A, P) y tal que para cada tipo  sean idénticamente  distribuidos.[pic 1][pic 2]

Se define de forma recursiva el proceso m-dimensional, como sigue:[pic 3]

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Al modelo de probabilidad así definido se le denomina Proceso de Ramificación de Multi-tipos.

Matriz de medias

Para cada  definiremos por  a la media de la j-pésima coordenada de los vectores aleatorios idénticamente distribuidos es decir,  , y se interpreta como el número medio de individuos del tipo j que produce un individuo del tipo i.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

A la matriz  la denominaremos matriz de medias del proceso. La importancia de dicha matriz reside en que a partir de ella podemos obtener una clasificación de los Procesos de ramificación de multi-tipos. También nos permite determinar los vectores de medias del proceso, es decir  En realidad es fácil probar que para todo  [pic 9][pic 10][pic 11]

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Y por tanto, para todo  se obtiene la igualdad[pic 13]

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Donde  denota la n-ésima potencia de la matriz de medias M. Además, si  , entonces  se interpreta como el número medio de individuos del tipo j en la n-ésima generación, en un proceso iniciado con un individuo del tipo i.[pic 15][pic 16][pic 17]

Una característica especial del Proceso de ramificación de multi-tipos es que bajo el modelo de ramificación existe una estructura markoviana entre los diferentes tipos de individuos. La matriz M es fundamental para establecer una clasificación tanto en el comportamiento de los distintos tipos como en la evolución de la población.

Diremos que el tipo i conduce al j si existe  tal que  (considerándose  la matriz identidad de orden m). Diremos que el tipo i comunica con el j si i conduce a j y j conduce a i.[pic 18][pic 19][pic 20]

Clasificación de los estados

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Un suceso de gran interés en el estudio de los Procesos de Ramificación es el de la extinción del proceso. En este caso dicho suceso se define como  y la probabilidad de extinción, que dependerá del vector de inicio del proceso , como [pic 24][pic 25]

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Proceso de ramificación de tiempo continúo

Determinamos un proceso continuo de ramificación de Markov con variables de estado X(t)={Número de partículas en el tiempo t, dado X(0)=1} especificando las probabilidades infinitesimales del proceso.

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Representan la probabilidad de que una sola partícula se divida produciendo k partículas (u objetos) durante un pequeño intervalo de tiempo (t,t+h) de longitud h. Denota, como es habitual, el símbolo delta de Kronecker, y asumimos que  y [pic 28]

                                                          [pic 29]

Además postulamos que las partículas individuales actúan independientemente una de otra, siempre gobernadas por las infinitesimales probabilidades. Obsérvese que asumimos efectivamente la homogeneidad en el tiempo para las probabilidades de transición ya que  no es una función del tiempo en el que se produce la conversión o división.[pic 30]

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