Progesiones Aritmetica

Progresiones Aritméticas

Es una sucesión en la cual todos los términos, posteriores al primero, se deducen del anterior añadiendo un número constante que se llama diferencia de la progresión ( d = diferencia ).

Por ejemplo , 3,7,11,15,19,...,es una P.A. , ya que cada término se obtiene sumando 4 unidades al anterior. En la P.A. 50 ,45 ,40,..., la diferencia es 45-50 = 40-45 = -5

Fórmulas de la P.A.

1) el termino enésimo o el último :

Sn = an = a1 + ( n-1 ) d

2) para obtener la suma de n términos

Spa = n/2 ( 2 a1 + (n-1) d ).

o Spa = n/2 ( a1 + an )

Siendo a1 = primer término; d = diferencia ; n = número de términos ; Sn = an término enésimo; Spa = suma de los n primeros términos

Ejemplos

1) Consideremos la P.A. 3,7,11,... siendo a = 3 ,y d = 7-3 = 11-7 = 4 . El sexto término es Sn = a1 + ( n-1) d = 3+( 6-1) 4 = 23 .

La suma de los seis primeros términos es

Spa = n/2 ( a+1 ) = 6/2 (3+23) = 78 o

Spa = n/2 ( 2 a + (n-1) d ) = 6/2 ( 2( 3 ) +( 6-1) 4) = 78

2) el cuarto término de una P.A. es 4 y el séptimo término es 2 . formar la progresión y encuentre el término general .

a+(4-1)d =4 a+3 ( -2/3 )= 4

a+(7-1)d =2 a-2 =4

a=6

a+ 4d-d = 4

a+ 7d –d=2 Sn = 6+(n-1) (-2/3)

Sn = 6-2/3n+2/3

a+3d= 4 Sn = 20 / 3 – 2/3n

a+6d=2 -1 Sn = 2/3 (10-n)

-3d= 2

d =-2/3

Progresiones Geométricas

Es una sucesión en la cual todos los términos , posteriores al primero, se deducen del anterior multiplicándolo por una constante que se llama razón de la progresión , por ejemplo.

5,10,20,40,80,...,es una P.G. ya que cada término se obtiene multiplicando por dos al anterior . En la P.G. , 9,-3,1,-1/3,1/9,...,la razón es –3/9= -1/3

fórmulas de la progresión geométrica

1) el término enésimo o último término:

sn = an = a r¬n-1

3) la suma de los n primeros términos

Spg = a1(1 - r n), por lo que r tiene que ser distinto de 1

1- r

Siendo: a1 = primer término; r = razón; n = número de términos; sn = término enésimo ; Spg = suma de los n primeros términos

Consideremos la PG 5, 10, 20... siendo a1 =5 y r = 10/5 = 20/10 = 2 . El séptimo término es sn = a1 r n-1= 5(27-1 ) = 5(26 ) = 320 .

LA suma de los siete primeros términos es

Sn= a1(1-rn ) = 5(1 - 27) = - 635 = 635

1 - r 1 - 2 - 1

...