RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Relaciones reflexivas

Definición: Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es reflexiva si: . Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas (a, a) donde a barre todos los elementos de A.[pic 1]

[pic 2]

Si la relación  R  es reflexiva  entonces todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo.

Relaciones irreflexivas

Una relación R sobre un conjunto A es irreflexiva si para todo x ∈ A se cumple que (x,x) ∉ R, es decir, que ∀ x ∈ A se cumple que x no está relacionado consigo mismo ó [pic 3]

[pic 4]

Relaciones simétricas

Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si . Es decir, en caso de haber una flecha de x a y debemos de tener una de y a x en las relaciones simétricas.[pic 5]

[pic 6]

Relaciones asimétricas

Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R, es decir, .[pic 7]

[pic 8]

La relación asimétrica es cuando hay una correspondencia de un conjunto A hacia un conjunto B, pero no hay correspondencia  del conjunto B al conjunto A.

Relaciones antisimétricas

Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si . Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en la relación, es porque las parejas son (x, x).[pic 9]

Dicho de otra manera, no existen los elementos X, Y distintos, y que X esté relacionado con Y y Y esté relacionado con X.

[pic 10]

Relaciones transitivas

Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si .[pic 11]

[pic 12]

Dicho de otra manera, cuando dado los elementos X, Y, Z del conjunto, si X está relacionado con Y y Y está relacionado con Z, entonces X está relacionado con Z

TALLER 6: RELACIONES ENTRE CONJUNTOS (PROPIEDADES)

2. Considere A= {1, 2, 3, 4, 5} determine que propiedad cumple la siguiente relación. Justifique su respuesta:

1. La relación representada en el siguiente dígrafo:[pic 13]

[pic 14]

[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28][pic 29]

R= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3)}

R no es reflexiva por que 2 ϵ A (2,2) ∉ R.

R no es irreflexiva por que 1 ϵ A (1,1) ϵ R.

R no es simétrica porque (1,2) ϵ R y (2,1) ∉ R

R si es asimétrica porque (1,2) ϵ R y (2,1) ∉ R

R si es antisimétrica por que 2 ≠ 5; (2,5) ∉ R y (5,2) ∉ R

R si es transitiva porque (1,2) ϵ R y (2,3) ϵ R, entonces (1,3) ϵ R

1. A=Z; aRb si y solo si a ≤ b +1

R= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}

R si es reflexiva por que 2 ϵ A (2,2) ϵ R.

R no es irreflexiva por que 1 ϵ A (1,1) ϵ R.

R si es simétrica porque (1,2) ϵ R y (2,1) ϵ R

R si es asimétrica porque (1,4) ϵ R y (4,1) ∉ R

R si es antisimétrica por que 2 ≠ 5; (2,5) ∉ R y (5,2) ∉ R

R si es transitiva porque (1,3) ϵ R y (3,4) ϵ R, entonces (1,4) ϵ R

1. A=Z; aRb si y solo si |a-b| ≤ 2

R= {(1,2), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5), (5,3), (5,4)}

R no es reflexiva por que 2 ϵ A (2,2) ∉ R.

R si es irreflexiva por que 1 ϵ A (1,1) ∉ R.

R si es simétrica porque (1,2) ϵ R y (2,1) ϵ R

R si es asimétrica porque (3,1) ϵ R y (1,3) ∉ R

R si es antisimétrica por que 5 ≠ 1; (5,1) ∉ R y (1,5) ∉ R

R si es transitiva porque (5,3) ϵ R y (3,4) ϵ R, entonces (5,4) ϵ R

1. A=R; aRb si y solo si [pic 30]

R= {(0,2), (2,0)}

R no es reflexiva por que 2 ϵ A (2,2) ∉ R.

R si es irreflexiva por que 2 ϵ A (2,2) ∉ R.

R si es simétrica porque (0,2) ϵ R y (2,0) ϵ R

R no es asimétrica porque (0,2) ϵ R y (2,0) ϵ R

R si es antisimétrica por que 2 ≠ 5; (2,5) ∉ R y (5,2) ∉ R

R no es transitiva porque (0,2) ϵ R y (2,0) ϵ R, entonces (0,0) ∉ R

3. Sea A= {1, 2, 3, 4}, determine si la relación R cuya matriz MR  es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimetrica y transitiva.

Sea R = {(a, b) ϵ AxA}; entonces:

R= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

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