Resolver Problemas Y Ejercicios de Las Diferentes Técnicas de Integración

Unidad 2 –Fase 4

Diseño y Construcción

Resolver Problemas Y Ejercicios de Las Diferentes Técnicas de Integración

Estudiantes

Germán González Martínez  Código: 75108373

Erika Marcela Villa Código: 1116445192

Ángela María Calle  Código: 30328646

Camila Ivett Bonilla  Código: 1094940836

Tutor del curso

Cálculo integral

Elasio Rengifo Rentería

Código del curso: 100411A_471

Grupo: 303

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnologías e Ingenierías

Ingeniería de sistemas

Abril de 2018

Introducción

A través de este curso académico “Calculo integral” cada estudiante puede analizar y comprender teorías matemáticas básicas que sientan las bases científicas, que son el soporte para la solución de diversos problemas del mundo real y científico, ya que las temáticas conllevan al estudiante a que desarrolle competencias de orden superior como la comparación, la clasificación, el análisis, la inducción, la deducción y una de las más importantes la abstracción.

En el presente trabajo se aborda la temática sobre las distintas técnicas de integración que existen, es aquí donde el estudiante interpreta analíticamente y críticamente las diversas técnicas de integración aplicables a situaciones reales dentro del contexto social y académico.

Desarrollo del trabajo

Ángela Calle 

Primera parte (punto 1 al 4)

Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

1. [pic 2]

Aplicamos el método de integración por sustitución

[pic 3]

Primero identificamos:

Dónde

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Para aplicar el método de sustitución la integral debe cumplir la forma:

[pic 7]

Cómo en este caso no se cumple, entonces multiplicamos por 2/2:

[pic 8]

[pic 9]

Reemplazando

[pic 10]

Esto es igual a

[pic 11]

Ahora aplicamos la regla para integrar funciones exponenciales

[pic 12]

Primero identificamos:

Identificamos

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Dónde[pic 16][pic 17]

Y reemplazamos las integrales ya resueltas

[pic 18]

[pic 19]

Reemplazando u

[pic 20]

Organizando

[pic 21]

Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:

[pic 22]

Para determinar si la integral converge o diverge, evaluamos x en -∞ y 0

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

La integral impropia es divergente porque el límite es menos infinito

Camila Bonilla 

-Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

2. [pic 33]       

*Por propiedades de la integral se puede ver como la suma de las siguientes integrales:

[pic 34]

*Aplicando límite:

[pic 35]

*Haciendo sustitución [pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

)[pic 40]

*Como el límite es finito, la integral converge.

German González 

3. Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

[pic 41]

Se llama integral impropia porque tenemos en el límite superior +∞ y en el límite inferior -∞. Para comenzar vamos a utilizar una propiedad de la integral definida que dice que la integral de a hasta b de una función f(x) con su diferencial es igual a la integral desde a hasta c de esa función f(x) con su diferencial más la integral desde c hasta b de la misma función con su diferencial, es decir:

[pic 42]

Esto siempre que c sea un valor comprendido entre a y b. Tenemos una función que es continua en todos los números reales desde -infinito a +infinito. Por lo tanto, vamos a elegir un valor intermedio (cualquier número real) para partir esa integral en otras dos siguiendo la anterior propiedad. Vamos a escoger el valor cero.

[pic 43]

Tenemos dos integrales impropias que vamos a estudiar por separado:

[pic 44]

La integral roja será la integral uno y la integral verde será la integral dos.

[pic 45]

Cambiaremos el límite inferior por una letra:

[pic 46]

[pic 47]

Ahora debemos determinar la antiderivada para esta función. Aplicamos integración por sustitución:

[pic 48]

[pic 49]

Sacamos la constante:

[pic 50]

Aplicamos la regla de integral definida, aplicando la regla de integración:

[pic 51]

Sustituimos en la ecuación:

[pic 52]

[pic 53]

Ahora tenemos:

[pic 54]

Vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, Comenzamos por reemplazar el cero donde se encuentre la x y le restamos el reemplazo del límite inferior:

[pic 55]

Ahora resolvemos el límite:

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

Este será el valor de nuestra primera integral, y como se obtuvo un número que no es real podemos decir que esta integral diverge.

Ahora bien, como el resultado de la primera integral nos dio que diverge NO hay necesidad de estudiar la integral 2, y esto quiere decir que el ejercicio original es una integral impropia que diverge.

Erika Villa 

4-Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen.

4. [pic 60]

Por definición se tiene que la ecuación (1) equivale a decir:

[pic 61]

Para evaluar el límite se resuelve la integral de manera normal; teniendo en cuenta que el resultado de la integral será añadido posteriormente a la ecuación (2).

[pic 62]

La ecuación (3), se resuelve usando el método sustitución, en donde:

[pic 63]

[pic 64]

Sustituyendo la ecuación (4 y 5), se tiene que la integral de la ecuación (3) queda expresada de forma:

[pic 65]

Cuya solución está dada por la ecuación (7).

[pic 66]

Al obtener la solución de la ecuación (3) se procede a reemplaza en la ecuación (2).

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

El resultado de la ecuación (10) es la solución de la ecuación (1), y dado por el valor de la solución se tiene CONVERGENTE.

Ángela Calle 

Segunda parte (punto 5 al 8)

Integral Indefinida - Integral Definida

Resuelva paso por paso las siguientes integrales, aplicando la definición de integral y enunciando, propiedades, identidades y el método de integración utilizado.

5.  [pic 70]            

Para este ejercicio aplicamos la técnica de Fracciones Parciales: cuando el integrado es una división de 2 polinomios donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se puede descomponer en fracciones parciales como grado del denominador.

Entonces hacemos una división de polinomios[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

Dónde:

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

Para hacer una prueba de que una división es correcta tenemos la siguiente igualdad:

[pic 92]

Ambos lados de la igualdad los dividimos en d

[pic 93]

En el lado derecho podemos repartir el denominador

[pic 94]

        Quedando así:

[pic 95]

Reemplazando[pic 96]

[pic 97]

Es un binomio cuadrado perfecto

[pic 98]

Esta expresión nos va a permitir reescribir la integral

 [pic 99]

Integramos cada uno de los términos

[pic 100]

Aplicamos la regla de la potencia

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

Aplicando la regla de la constante

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

Aplicamos la regla de la potencia

[pic 108]

[pic 109]

...