Resolver Problemas Y Ejercicios de Las Diferentes Técnicas de Integración
Enviado por Camila Bonilla • 3 de Mayo de 2018 • Tareas • 2.544 Palabras (11 Páginas) • 155 Visitas
Unidad 2 –Fase 4
Diseño y Construcción
Resolver Problemas Y Ejercicios de Las Diferentes Técnicas de Integración
Estudiantes
Germán González Martínez Código: 75108373
Erika Marcela Villa Código: 1116445192
Ángela María Calle Código: 30328646
Camila Ivett Bonilla Código: 1094940836
Tutor del curso
Cálculo integral
Elasio Rengifo Rentería
Código del curso: 100411A_471
Grupo: 303
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnologías e Ingenierías
Ingeniería de sistemas
Abril de 2018
Introducción
A través de este curso académico “Calculo integral” cada estudiante puede analizar y comprender teorías matemáticas básicas que sientan las bases científicas, que son el soporte para la solución de diversos problemas del mundo real y científico, ya que las temáticas conllevan al estudiante a que desarrolle competencias de orden superior como la comparación, la clasificación, el análisis, la inducción, la deducción y una de las más importantes la abstracción.
En el presente trabajo se aborda la temática sobre las distintas técnicas de integración que existen, es aquí donde el estudiante interpreta analíticamente y críticamente las diversas técnicas de integración aplicables a situaciones reales dentro del contexto social y académico.
Desarrollo del trabajo
Ángela Calle
Primera parte (punto 1 al 4)
Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:
1. [pic 2]
Aplicamos el método de integración por sustitución
[pic 3]
Primero identificamos:
U=g(x) Función interna | du=g’(x)dx Derivada u | dx=du/g’(x) Despejar dx |
Dónde
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
Para aplicar el método de sustitución la integral debe cumplir la forma:
[pic 7]
Cómo en este caso no se cumple, entonces multiplicamos por 2/2:
[pic 8]
[pic 9]
Reemplazando
[pic 10]
Esto es igual a
[pic 11]
Ahora aplicamos la regla para integrar funciones exponenciales
[pic 12]
Primero identificamos:
U=g(x) Función interna | du=g’(x)dx Derivada u | a Base del exponencial |
Identificamos
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Dónde[pic 16][pic 17]
Y reemplazamos las integrales ya resueltas
[pic 18]
[pic 19]
Reemplazando u
[pic 20]
Organizando
[pic 21]
Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:
[pic 22]
Para determinar si la integral converge o diverge, evaluamos x en -∞ y 0
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
La integral impropia es divergente porque el límite es menos infinito
Camila Bonilla
-Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:
2. [pic 33]
*Por propiedades de la integral se puede ver como la suma de las siguientes integrales:
[pic 34]
*Aplicando límite:
[pic 35]
*Haciendo sustitución [pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
)[pic 40]
*Como el límite es finito, la integral converge.
German González
3. Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:
[pic 41]
Se llama integral impropia porque tenemos en el límite superior +∞ y en el límite inferior -∞. Para comenzar vamos a utilizar una propiedad de la integral definida que dice que la integral de a hasta b de una función f(x) con su diferencial es igual a la integral desde a hasta c de esa función f(x) con su diferencial más la integral desde c hasta b de la misma función con su diferencial, es decir:
[pic 42]
Esto siempre que c sea un valor comprendido entre a y b. Tenemos una función que es continua en todos los números reales desde -infinito a +infinito. Por lo tanto, vamos a elegir un valor intermedio (cualquier número real) para partir esa integral en otras dos siguiendo la anterior propiedad. Vamos a escoger el valor cero.
[pic 43]
Tenemos dos integrales impropias que vamos a estudiar por separado:
[pic 44]
La integral roja será la integral uno y la integral verde será la integral dos.
[pic 45]
Cambiaremos el límite inferior por una letra:
[pic 46]
[pic 47]
Ahora debemos determinar la antiderivada para esta función. Aplicamos integración por sustitución:
[pic 48]
[pic 49]
Sacamos la constante:
[pic 50]
Aplicamos la regla de integral definida, aplicando la regla de integración:
[pic 51]
Sustituimos en la ecuación:
[pic 52]
[pic 53]
Ahora tenemos:
[pic 54]
Vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, Comenzamos por reemplazar el cero donde se encuentre la x y le restamos el reemplazo del límite inferior:
[pic 55]
Ahora resolvemos el límite:
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
Este será el valor de nuestra primera integral, y como se obtuvo un número que no es real podemos decir que esta integral diverge.
Ahora bien, como el resultado de la primera integral nos dio que diverge NO hay necesidad de estudiar la integral 2, y esto quiere decir que el ejercicio original es una integral impropia que diverge.
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