Resumen De Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no homogénea una función f (t) que n o es continua. El análisis de estos problemas es más sencillo cuando

Se utiliza el método de la transformada de Laplace.La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

Cuando tal integral converge

Notas

1. La letras representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante

2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variables

3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial

2. Continua a trozos

Definición de la Transformada Inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

Si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Propiedades

Linealidad

Derivación

=

=

Integración

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Nota: es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Condiciones de convergencia

(que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial

Sea una función derivable a trozos y que Entonces :

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final

Sea una función derivable a trozos tal que .Entonces :

...