Resumen transformada de laplace
Enviado por Tontofer • 24 de Abril de 2018 • Resúmenes • 631 Palabras (3 Páginas) • 193 Visitas
Resumen Transformada de Laplace
De nociones
Una funcion f : [0; +1) ! R es de orden exponencial si 9 2 R y M > 0 tales que jf(t)j M e t para todo t 0. Al menor de tales se le llama orden exponencial de f.
[pic 1]
Una funcion f : [0; +1) ! R se dice continua por pedazos si tiene a lo mas una cantidad numerable de discontinuidades de salto en [0; +1), pero sobre cada subintervalo acotado de [0; +1) tiene un numero nito de estas.
[pic 2]
El espacio de funciones C , esta compuesto por funciones f : [0; +1) ! R que son continuas por pedazos y de orden exponencial 2 R. (C ; +; C) es un espacio vectorial.
La transformada de Laplace de f 2 C esta de nida para s > (la as ntota de L es )[pic 3]
[pic 4]
Z +1
L[f](s) = e sxf(x)dx
0
Propiedad 1. La transformada es un operador lineal en C , es decir, si 2 C y f; g 2 C entonces
L[ f + g](s) = L[f](s) + L[g](s)
Propiedad 2. Si f 2 C entonces L[f](s) esta bien de nido 8s > , y ademas se cumple
jL[f](s)j | M | 8s > | ) sl m L[f(t)](s) = 0 | ||
s | |||||
!1 |
Teorema 1. (Lerch) Sean f; g 2 C tales que L[f](s) = L[g](s) 8s > , entonces f(t) = g(t) 8t 0 salvo en la union de las discontinuidades de f y g.
Transformadas Usuales. Lo siguiente es valido 8k 0, 8s > 0, 8a; b; w 2 R
1. L[tk](s) = k!
sk+1[pic 5]
3. L[Ha(t)](s) = L[H(t a)](s) = 1s e as
[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
2. | L[eat](s) = | 1 | ||||
s a | ||||||
4. | L[Pab(t)](s) = | 1 | (e as e bs) | |||
s |
[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]
[pic 15]
Reglas de Calculo. Lo siguiente es valido 8f 2 C , 8s >
1. L[f0](s) = s L[f](s) f(0+)
n 1
3. L[f(n)](s) = sn L[f](s) P skf(n 1 k)(0+)
k=0
2. L[f00](s) = s2 L[f](s) s f(0+) f0(0+)
4. L | t | (s) = | 1 | 1 a | ||||
a f(u)du | s L[f](s) s 0 f(u)du | |||||||
R | R |
5. | L" | t | t | s1k | a | t | t | |||||||||||||||||
: : : | f(u)du#(s) = sn L[f](s) | n | : : : | f(u)du | ||||||||||||||||||||
Z | Z | 1 | Z | Z | Z | |||||||||||||||||||
k=0 | ||||||||||||||||||||||||
X | ||||||||||||||||||||||||
a | a | 0 | a | a | ||||||||||||||||||||
Note | | | {z | } | | | {z | } | ||||||||||||||||||
n veces | n k veces | |||||||||||||||||||||||
que para a = 0, la sumatoria del segundo termino se anula | ||||||||||||||||||||||||
6. | L[H(t a)f(t a)](s) = e saL[f(t)](s) | 7. | L[f(t)](s a) = L[eat f(t)](s) | |||||||||||||||||||||
d | ||||||||||||||||||||||||
8. | L[(f g)(t)](s) = L[f(t)](s) L[g(t)](s) | 9. | L[f(t)](s) = L[t f(t)](s) | |||||||||||||||||||||
ds | ||||||||||||||||||||||||
dn | 1 | 1 | (t) | |||||||||||||||||||||
10. | L[f(t)](s) = ( 1)nL[tn f(t)](s) | 11. | Z0 | L[f(t)](s)ds = Z0 | f | dt | ||||||||||||||||||
dsn | t | |||||||||||||||||||||||
12. | f g(t) := R | 0t f(t w)g(w)dw | 13. | L[f g(t)](s) = L[f](s) L[g](s) |
Delta de Dirac. La delta de Dirac pertenece a la familia de funciones generalizadas o distribucio-nes. Es una regla que le asigna a cada funcion continua un numero real, el cual su valor en cero f(0). Por de nicion la delta se caracteriza en terminos de su accion sobre cierto tipo de funciones, mediante
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