SIMETRIA

SIMETRIA.

La palabra simetría procede del griego “syn” que significa a la vez y de la palabra “metronque" significa medida.

La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.

La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.

Todos los polígonos regulares (son los que tienen lados y ángulos iguales) son figuras simétricas y tienen tantos ejes de simetría como lados.

En dibujo existen cinco simetrías importantes que son:

• Simetría de traslación o invariancia traslacional.

• Simetría de rotación.

• Simetría de ampliación.

• Simetría de abatimiento.

• Simetría bilateral.

Simetría geométrica

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociada a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son:

• Simetría axial.

• Simetría central.

SIMETRIA AXIAL.

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P′ también del plano, de manera que el eje e sea mediatriz del segmento PP′. Las simetrías axiales son isometrías inversas porque conservan las distancias entre sus puntos y sus homólogos, pero su orientación es la inversa. La simetría axial no solo se presenta entre un objeto y su reflexión, sino también en las figuras que mediante una línea pueden partirse en dos secciones que son simétricas respecto a la línea. Estos objetos tienen uno (o más) ejes de simetría.

La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.

A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A′ es homólogo de A, B′ es homólogo de B y C′ es homólogo de C. Además, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura simétrica. En este caso: La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría.

Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes,

Composiciones de simetrías axiales:

• La composición de dos simetrías con los ejes paralelos e y e′ es una traslación, cuyo vector tiene la longitud el doble de la distancia entre los ejes, la dirección es perpendicular a los ejes y su sentido es el que va de e a e′.

• La composición de dos simetrías con los ejes perpendiculares e y e′ es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

SIMETRIA CENTRAL.

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P′, siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P′. Nótese que una simetría central equivale a un giro de 180∘.

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.

Representación de un triángulo y su homonologo mediante simetría central:

Coordenadas mediante una simetría de centro O=(a,b):

Un punto P′ homólogo de un punto P=(x,y) mediante una simetría central de centro O=(a,b):

Y la figura homóloga de un triángulo es de la forma:

Composición de simetrías centrales:

• Composición de simetrías con el mismo centro: Como una simetría de centro O equivale

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