SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCION

Los sistemas de ecuaciones lineales son herramientas imprescindibles para el estudio de la ingeniería. Se utilizan para diversos modelos de fenómenos físicos que involucran una gran cantidad de variables y que su comportamiento implica una estrecha relación entre ellas.

La solución de circuitos a través de las leyes de Kirchhoff, la investigación de operaciones y el análisis estructural son algunos cuantos ejemplos de la importancia del uso de los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales estaremos mencionando en este trabajo más datos importantes sobre el uso de las mismas.

DESARROLLO

La solución de un sistema de ecuaciones lineales en un conjunto n de valores que satisfacen simultáneamente a un grupo de ecuaciones. En dicha solución se presentan tres situaciones diferentes:

1.- Que el sistema no tenga solución finita. En este caso decimos que el sistema es incompatible.

2.- Que el sistema tenga solución finita única. Decimos entonces que el sistema es compatible determinado

3.- Que el sistema de ecuaciones tenga más de una solución. Aquí decimos que el sistema es compatible indeterminado.

METODOS DE SOLUCION BASADOS EN EL ALGEBRA MATRICAL

La técnica fundamental para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones es el de la eliminación; este proceso consiste en convertir el sistema original en equivalentes aplicando sobre el sistema de ecuaciones las tres operaciones fundamentales que son:

1.- Intercambiar dos ecuaciones del sistema

2.- Multiplicar una ecuación del sistema por un escalar diferente de cero

3.- Multiplicar una ecuación del sistema por un escalar diferente de cero y adicional a esto sumar el resultado a otra ecuación del sistema

Con base en estas tres operaciones se definen varios métodos de solución. Cabe mencionar que en el desarrollo de estos métodos y en la práctica de las operaciones se utilizan diversos recursos del algebra matrical, entre ellos el uso de la matriz ampliada o la transformación hacia la matriz de identidad.

A continuación mencionamos los métodos sin profundizar en las técnicas que se prefieran para su solución.

METODO DE GAUSS

A través de las operaciones fundamentales aplicadas a la matriz de coeficientes A y al vector de términos independientes b ̅ (para mantener la igualdad de las ecuaciones), se convierte a la matriz A en una matriz triangular superior donde la diagonal principal la constituyen números 1. Esta transformación implica que en la ecuación n aparezca una sola incógnita, dos en la ecuación n – 1, tres en la ecuación n – 2 y así sucesivamente para después realizar una sustitución hacia atrás.

METODO DE GAUSS – JORDAN

Es una ampliación del método de Gauss pero con la diferencia de que la matriz de coeficientes A se transforma en la matriz identidad, de tal forma que se conserva una única incógnita por ecuación eliminando la sustitución hacia atrás. Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes

METODO DE LA MATRIZ INVERSA

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos).

La esencia de este método es prácticamente una analogía del método de Gauss – Jordan

REGLA DE CRAMER

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única.

El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de coeficientes,

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