Sistema De Ecuaciones Lineales
Enviado por walainstain • 1 de Diciembre de 2013 • 3.087 Palabras (13 Páginas) • 390 Visitas
Al resolver sistemas de ecuaciones mediante eliminación por reducción, los coeficientes de las variables o incógnitas desempeñan un papel central. El proceso se puede hacer más eficiente de manera general y para un trabajo de computadora introduciendo una forma matemática denominada matriz. Una matriz es un arreglo rectangular de números escrito en paréntesis (┤) o corchetes [┤].
Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
o simplemente entonces donde es la matriz inversa.
Por el método de eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada". A continuación un ejemplo de una matriz escalonada
Método de Eliminación de Gauss
Este algoritmo consiste en dos procesos:
Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior:
Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita (coeficiente pivote). A
este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación.
Paso 3: Nótese que el primer termino de la primera ecuación es idéntico al primer término de la segunda. Por lo
tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda ecuación restando la primera a la segunda.
Paso 4: repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.
Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el sistema en una matriz triangular superior.
b) Sustitución hacia atrás: Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más manejable y se puede resolver despejando primero la y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener el resultado completo del sistema.
Método de Gauss-Jordan
Este método también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El método consiste en convertir el sistema expresado como matriz aumentada y trabajar para transformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema. El procedimiento es similar al proceso de la eliminación gaussiana con la diferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal sino también los que están sobre de ella. Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz.
Nos enfocaremos en el método de eliminación de Gauss-Jordan, el objetivo es hacer la siguiente transformación:
donde I es la matriz identidad y OEER son las Operaciones Elementales Entre Renglones
Por ejemplo, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas
Observe que la matriz identidad todos sus elementos de la diagonal
Operaciones Elementales entre Renglones
Una matriz aumentada se transforma en una matriz de renglón equivalente si se realiza cualquiera de las siguientes operaciones entre renglones:
Dos renglones se intercambian
Se multiplica un renglón por una constante diferente de cero
Se suma el múltiplo constante de un renglón con el otro renglón
Recuerde puede obtener tres distintas formas de solución, veamos en una matriz 2×2
una solución única (consistente e independiente)
una infinidad de soluciones (consistentes y dependientes)
no hay solución (inconsistente)
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema por E. Gauss-Jordan
2x-2y+ z=3
3x+ y- z=7
x- 3y+2z=0
Recuerde que debemos transformar [A├|B┤] ⟶┴ [I├|C┤]
Escribimos la matriz aumentada
[├ ■(2&-2& 1@3& 1&-1@1&-3& 2)┤| ■(3@7@0)] R_1⟷R_3 [├ ■(1&-3& 2@3& 1&-1@2&-2& 1)┤| ■(0@7@3)] ■((-3〖)R〗_1+R_2→R_2@(-2)R_1+R_3→R_3 ) [├ ■(1&-3& 2@0& 10&-7@0& 4& -3)┤| ■(0@7@3)]
(□(1/10))R_2→R_2 [├ ■(1&-3& 2@0& 1&- □(7/10)@0& 4& -3)┤| ■(0@□(7/10)@3)] ■((3〖)R〗_2+R_1→R_1@(-4)R_2+R_3→R_3 ) [├ ■(1&0& □(- 1/10)@0& 1&- □(7/( 10))@0&0& - □(1/5))┤| ■(□(21/10)@□(7/10)@□(1/5))]
(- □(5/29))R_3→R_3 [├ ■(1&0& □(- 1/10)@0& 1&- □(7/( 10))@0&0& 1)┤| ■(□(21/10)@□(7/10)@-1)] ■((□(1/10)〖)R〗_3+R_1→R_1@(□(7/10))R_3+R_2→R_2 ) [├ ■(1&0& 0@0& 1& 0@0&0& 1)┤| ■( 2@ 0@-1)]
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