Sistema De Ecuaciones Lineales

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales

Subtemas:

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

3.5 Aplicaciones.

Competencia específica a desarrollar: Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer.

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

ECUACION LINEAL. Son aquellas cuyas variables son de primer grado.

Su representación gráfica de estas ecuaciones son líneas rectas.

Ejemplos:

• 2x + y = 1

• 3x – 2y = -2

Sistema de ecuaciones. Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

Ejemplos.

•

•

•

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

• Sistema incompatible (inconsistentes) cuando no admite ninguna solución.

• Sistema compatible (consistentes) cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:

o Indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones.

o Determinados cuando admiten una única solución.

Sistema de ecuaciones

Compatible No compatible

(Tiene solución) (No tiene solución)

Determinado Indeterminado.

(Solución única) (Infinitas soluciones)

Resolver un sistema de ecuaciones. Es hallar la solución común, es decir, el conjunto de valores (un valor para cada incógnita) que satisfacen simultáneamente cada una de las ecuaciones.

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

Para un sistema de dos por dos.

Solución única Infinitas soluciones No existe solución

Para un sistema de tres por tres

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

Para resolver los sistemas de ecuaciones hay varios métodos.

• Método de Gauss: Tomamos la matriz ampliada asociada al sistema y hacemos las trasformaciones de filas necesarias para hacer la matriz de coeficientes triangular, a partir de ahí deducimos los valores de las variables.

• Método de Gauss – Jordan. Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por renglones.

• Matríz inversa: Si expresamos el sistema en forma matricial AX=B y A es invertible entonces donde X es la matriz de variables A la de coeficientes y B la de términos independientes. Condición necesaria es que exista la inversa de A

• Regla de Cramer: El valor de la variable i-ésima se obtiene del cociente C/D, donde C es el determinante de la matriz de coeficientes donde se cambia la columna i-ésima por la columna de términos independientes y D es el determinante de la matriz de coeficientes.

Ejercicios: Utilice los métodos: Gauss, Gauss – Jordan, matriz inversa y método de Cramer para encontrar todas

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